¿Cómo resolver una ecuación trigonométrica que tiene múltiples funciones trigonométricas

Algunas ecuaciones de trigonometría contienen más de una función trigonométrica. Otros tienen mezclas de múltiples ángulos y ángulos individuales con la misma variable. Algunos ejemplos de tales ecuaciones incluyen 3cos² x = sen² x, 2 segundos x = tan x + cuna x, 2 cosx + cos x + 1 = 0, y el pecado x cos x = 1/2.

Video: Como resolver una ecuación trigonométrica

Para obtener estas ecuaciones en formas más manejables para que pueda utilizar el factoring u otro método para resolverlos, se utiliza identidades para sustituir parte o la totalidad de los términos. Por ejemplo, para resolver 3cos² x = sen² x para todos los ángulos entre 0 y 2&Pi-, aplicar una identidad de Pitágoras.

1. Sustituir el término pecado² x con su equivalente de la identidad de Pitágoras, el pecado² x + cos² x = 1 o pecado² x = 1 - cos² x.

   3cos² x = 1 - cos² x

2. Añadir cos² x a cada lado y simplificar dividiendo.

   

3. Tomar la raíz cuadrada de cada lado.

   

4. Resolver para los valores de x que satisfacen la ecuación.

   

En el siguiente ejemplo, se empieza con tres diferentes funciones trigonométricas. Una buena táctica es reemplazar cada función, ya sea mediante el uso de una identidad o una relación de identidad recíproca. El uso de estas identidades crea fracciones, y las fracciones que requieren denominadores comunes.

Por cierto, que tienen fracciones en las ecuaciones trigonométricas es bueno, porque los productos que resultan de multiplicar y hacer fracciones equivalentes son generalmente partes de identidades que entonces se puede sustituir en la expresión para hacer mucho más simple. resolver 2sec x = tan x + cuna x para todas las posibles soluciones en grados.

1. Reemplazar cada término con su respectiva identidad recíproca o la relación.

   

2. Vuelva a escribir las fracciones con el pecado común denominador x cos x.

   Multiplicar cada término por una fracción que es igual a 1, ya sea con seno o coseno tanto en el numerador y el denominador.

   

3. Añadir las dos fracciones de la derecha. Luego, utilizando la identidad de Pitágoras, vuelva a colocar el nuevo numerador con 1.

   

4. Establecer la ecuación igual a 0 restando el término de la derecha de cada lado.

   Video: Ejercicios de ecuaciones trigonométricas

   

5. Ahora configure el numerador igual a 0.

   Video: ecuaciones trigonometricas

   

   Si el numerador es igual a 0, entonces toda la fracción es igual a 0. El denominador no se debe permitir a la igualdad de 0 - no existe tal número.

6. Resolver para los valores de x que satisfacen la ecuación original.

   

En el siguiente ejemplo, dos ángulos diferentes están en juego. Un ángulo es el doble del tamaño de la otra, por lo que utilizar una identidad de doble ángulo para reducir los términos de las funciones de un solo ángulo. El truco está en elegir la versión correcta de la identidad de doble ángulo del coseno.

Resolver cos 2x + cos x + 1 = 0 para x entre 0 y 2pag.

1. Reemplazar cos 2x con 2cos² x - 1.

   2cos²x - 1 + cos x + 1 = 0

   Esta versión de la identidad de doble ángulo coseno es preferible porque la otra función trigonométrica en la ecuación ya tiene un coseno en ella.

2. Simplificar la ecuación. Entonces factorizar cos x.

   

3. Ajuste cada factor igual a 0.

   

4. Resolver para los valores de x que satisfacen la ecuación original.

   

Este último ejemplo puede ser engañosamente simple. El problema es que hay que reconocer una identidad de doble ángulo adelantado y hacer un cambio rápido.

1. Utilizar la identidad de doble ángulo de seno para crear una sustitución de la expresión de la izquierda.

   Comenzando con la identidad y multiplicando cada lado por medio, se obtiene

   

2. Reemplazar la expresión de la izquierda de la ecuación original con su equivalente de la identidad de doble ángulo.

   

3. Multiplicar cada lado de la ecuación por 2.

   

4. Vuelva a escribir la expresión como una función inversa.

   2x = sen^-1(1)

5. Determinar qué ángulos dentro de dos rotaciones satisfacen la expresión.

   2x = sen^-1(1) = 90 °, 450 °

   Utiliza dos rotaciones ya que el coeficiente de x es 2.

6. Divide cada término por 2.

   

   Observe que los ángulos resultantes son entre 0 y 360 grados.

Se puede generalizar la técnica de doble ángulo desde el ejemplo anterior para otras expresiones de múltiples ángulos.