Cómo factorizar expresiones trigonométricas con mayores grados de 2

Aunque la factorización cuadráticas es una brisa, factorización de ecuaciones trigonométricas con grados más altos puede ser un poco desagradable si no&rsquo-t tiene una buena situación como sólo dos términos o una ecuación de segundo grado similar. A continuación, se ven dos tipo de problemas: 2sin³ x = sen x y 2cos⁴ x - 9cos² x + 4 = 0.

La primera ecuación tiene sólo dos términos, por lo que puede factorizar por encontrar un factor común más grande. resolver 2sin³ x = sen x para todos los posibles ángulos en grados.

1. Mueva el término de la derecha a la izquierda de restarlo de cada lado.

   2sin³ x - pecado x = 0

2. Factorizar el pecado x.

   pecado x (2sin² x - 1 = 0)

3. Ajuste cada factor igual a 0.

   pecado x = 0 o 2sin² x - 1 = 0

4. Resolver las dos ecuaciones para los valores de x que las satisfacen.

   Si el pecado x = 0, entonces x = sen^-1(0) = 0 °, 180 °,. . . o 0 ° + 180 °norte.

   Si 2sin² x - 1 = 0, 2sin² x = 1, el pecado² x = 1/2, y luego se termina con una ecuación de segundo grado.

5. Tomar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación de segundo grado y resolver para x.

   Multiplicar las dos partes de la fracción por el denominador para obtener el radical del denominador.

   

   Ahora, teniendo en cuenta las dos soluciones:

   

Esta ecuación trigonométrica de cuarto grado tiene una gran cantidad de respuestas:

x = 180 °norte

x = 45 ° + 360 °norte

x = 135 ° + 360 °norte

x = 225 ° + 360 °norte

x = 315 ° + 360 °norte

Se pueden combinar estos últimos cuatro ecuaciones para x, los que comienzan con múltiplos de 45 grados, para leer x = 45 ° + 90 °norte. Esta ecuación genera todos los mismos ángulos que los últimos cuatro estados combinados. ¿Cómo se sabe que puede simplificar de esta manera? Debido a que los ángulos de 45, 135, 225, y 315 grados son los 90 grados de separación en valor. Al comenzar con la adición de 45 y 90 una y otra vez, se obtiene todos los ángulos cotizadas, así como el número infinito de sus múltiplos.

El siguiente ejemplo es también una ecuación de cuarto grado, pero este es-cuadrática similares, lo que significa que factores como un trinomio cuadrática en dos factores binomiales. Este problema tiene la posibilidad de tener un gran número de soluciones - o ninguno. resolver 2cos⁴ x - 9cos² x + 4 = 0 para las soluciones que se encuentran entre 0 y 2&Pi-.

1. Factorizar el trinomio como el producto de dos binomios.

   (2cos² x - 1) (cos² x - 4) = 0

2. Ajuste cada factor igual a 0.

   2cos² x - 1 = 0 o cos² x - 4 = 0

3. Resolver para la función en cada ecuación haciendo que los términos de coseno en ellos solo en un lado de la ecuación.

   

4. Tomar la raíz cuadrada de cada lado de cada ecuación.

   

5. Resolver para los valores de x que satisfacen las ecuaciones.

   

   Si cos x = ± 2, entonces usted tiene un problema - que doesn ecuación&rsquo-t cálculo! Los resultados de la función coseno solamente en valores entre -1 y 1. Este factor doesn&rsquo-t dar cualquier nuevas soluciones al problema original.