Solución de ecuaciones con soluciones complejas

A menudo se encuentra con las ecuaciones que no tienen soluciones reales - o ecuaciones que tienen el potencial para muchas soluciones más real que la que realmente tienen. Por ejemplo, la ecuación x² + 1 = 0 no tiene soluciones reales. Si se escribe como x² = -1 y tratar de tomar la raíz cuadrada de cada lado, que se meten en problemas.

No hasta que tenga los números imaginarios se puede escribir que la solución de esta ecuación es x = +/-yo. La ecuación tiene dos soluciones complejas.

Un ejemplo de una ecuación sin soluciones reales suficientes es x⁴ - 81 = 0. Esta ecuación factores en (x² - 9) (x² + 9) = 0. Las dos soluciones reales de esta ecuación son 3 y -3. Las dos soluciones son complejas 3yo y -3yo.

Video: Ecuaciones Cuadráticas Con Números Complejos En La Solución (Parte 1)

Para resolver las complejas soluciones de una ecuación, se utiliza la factorización, la propiedad raíz cuadrada para la resolución de ecuaciones cuadráticas, y la fórmula cuadrática.

Ejemplos de preguntas

1. Buscar todas las raíces, reales y complejos, de la ecuación x³ - 2x² + 25x - 50 = 0.

   x= 2, 5yo, -5yo. En primer lugar, el factor de la ecuación para obtener x²(x - 2) + 25 (x - 2) = (x - 2) (x² + 25) = 0. Utilizando la propiedad de la multiplicación de cero, se determina que x - 2 = 0 y x = 2. También obtiene x² + 25 = 0 y x² = -25. Tomar la raíz cuadrada de cada lado, y

   

   Simplificar el radical, utilizando la equivalencia de yo, y las soluciones complejas son

   

   La raíz real es 2, y las raíces imaginarias son 5yo y -5yo.

2. Buscar todas las raíces, reales e imaginarios, de la ecuación 5x² - 8x + 5 = 0.

   x = 0,4 + 0,6yo, 0,4-0,6yo. El cuadrática no tiene en cuenta, por lo que utilizar la fórmula cuadrática:

   

   Las dos únicas soluciones son complejas: 0,4 + 0,6yo y 0,4 a 0,6yo.

preguntas de práctica

1. Buscar todas las raíces, reales e imaginarios, de x² + 9 = 0.

2. Buscar todas las raíces, reales e imaginarios, de x² + 4x + 7 = 0.

3. Buscar todas las raíces, reales e imaginarios, de 5x² + 6x + 3 = 0.

4. Buscar todas las raíces, reales e imaginarios, de x⁴ + 12x² - 64 = 0.

A continuación se presentan las respuestas a las preguntas de la práctica:

1. La respuesta es x = 3yo, -3yo.

   Añadir -9 a cada lado para conseguir x² = -9. Tomar la raíz cuadrada de cada lado. Entonces simplificar la expresión usando yo para la negativa de conformidad con el radical:

   

2. La respuesta es

   

   Usa la fórmula cuadrática para resolver para x. Simplificar la expresión usando yo para la negativa de conformidad con el radical:

   

3. La respuesta es

   

   Usa la fórmula cuadrática para resolver para x. Simplificar la expresión usando yo para la negativa de conformidad con el radical:

   Video: 10. Ejercicios de ecuaciones con soluciones complejas

   

4. La respuesta es x= 2, -2, 4yo, -4yo.

   Factorizar el lado izquierdo: (x² + dieciséis)(x² - 4) = (x² + dieciséis)(x - 2) (x + 2) = 0. obtener los dos raíces reales mediante el establecimiento x - 2 y x + 2 igual a 0. Cuando x² + 16 = 0, se encuentra que x² = -16. Tomando la raíz cuadrada de cada lado y usando yo para el -1 bajo el radical le da las dos raíces imaginarias.