Las curvas de cruce: encontrar las intersecciones de las parábolas y los círculos

Cuando una parábola y el círculo se cruzan, las posibilidades de su reunión son muchas y variadas. Las dos curvas se cruzan en un máximo de cuatro puntos diferentes, o tal vez tres, o simplemente dos o incluso sólo un punto.

Mantener sus opciones abiertas y estar alerta para tantas soluciones comunes como sea posible (derecha - hasta cuatro). Y, sí, el sistema puede tener ninguna solución en absoluto. Las curvas pueden perderse entre sí por completo.

Para estos problemas, por lo general, da vuelta a la sustitución. Sin embargo, usted no tiene que configurar una de las ecuaciones igual a x o y por sí mismo. Es posible resolver una ecuación de 4x o (y - 3)² o algún otro término que aparece en la otra ecuación. Siempre y cuando los términos coinciden, se puede intercambiar un valor para la otra.

Ejemplos de preguntas

1. Encuentra las soluciones comunes de círculo (x - 2)² + (y - 2)² = 4 y la parábola 2y = x² - 4x + 4.

   (0, 2), (2, 0), (4, 2). Vuelva a escribir la ecuación de la parábola como 2y = (x - 2)². A continuación, reemplazar el (x- 2)² plazo en la primera ecuación con 2y y simplificar: 2y + (y - 2)² = 4- 2y + y² - 4y + 4 = 4- y² - 2y = 0.

   Factorizar los términos de la izquierda para obtener y(y - 2) = 0. Por lo tanto, y = 0 o y = 2. Letting y = 0 en la ecuación de la parábola, se obtiene 2 (0) = x² - 4x + 4, o 0 = (x - 2)². Así que cuando y = 0, x = 2.

   A continuación, vamos y = 2 en la ecuación de parábola. Se obtiene 2 (2) = x² - 4x + 4- 4 = x² - 4x + 4- 0 = x² - 4x. Factoring, 0 = x(x - 4), por lo x = 0 o x = 4. Cuando y = 2, x = 0 o 4.

2. Encuentra las soluciones comunes de x² + y² = 100 y y² + 6x = 100.

   (0, 10), (0, -10), (6, 8), (6, -8). La solución de la segunda ecuación para y², usted obtiene y² = 100-6x. Reemplace la y² en la primera ecuación con su equivalente para obtener x² + 100-6x = 100.

   La simplificación y la factorización, la ecuación se convierte x² - 6x = x(x - 6) = 0. Entonces, x = 0 o x = 6. Sustitución x con 0 en la ecuación de la parábola, y² = 100- y = +/- 10. Sustitución x con 6 en la ecuación de la parábola, y² + 36 = 100- y² = 64- y = +/- 8.

preguntas de práctica

1. Encuentra las soluciones comunes de x² + y² = 25 y x² + 4y = 25.

2. Encuentra las soluciones comunes de x² + y² = 9 y 5x² - 6y = 18.

Video: Intersecciones de una ecuación cuadrática│largo

A continuación se presentan las respuestas a las preguntas de la práctica:

1. La respuesta es (5, 0), (-5, 0), (3, 4), (-3, 4).

   Video: Interseccion de dos Circunferencias

   Resuelve la segunda ecuación para x² (usted obtiene x² = 25-4y) Y sustituir la x² en la primera ecuación con su equivalente. La nueva ecuación lee 25-4y + y² = 25. Simplificando, se obtiene y² - 4y = 0.

   Este factores ecuación en y(y - 4) = 0. Las dos soluciones son y = 0 y y = 4. Volver a la segunda ecuación, la ecuación de la parábola, ya que sólo tiene un cuadrado plazo (que tiene exponentes más bajos, por lo que la elección de esta ecuación le permite evitar soluciones extrañas).

   Reemplace la y en esa ecuación con 0 a conseguir x² + 4 (0) = 25- x² = 25. Que ecuación tiene dos soluciones: x = 5 o x = -5. Ahora, volviendo y sustitución de la y con 4 en la ecuación de la parábola, x² + 4 (4) = 25- x² + 16 = 25- x² = 9.

   Esta ecuación también tiene dos soluciones: x = 3 o x = -3. El emparejamiento y‘S y su respectiva x‘S, se obtiene las cuatro soluciones diferentes. El círculo y parábola se cruzan en cuatro puntos distintos.

   Video: Graficar Parábolas intersección con los ejes

2. La respuesta es

   
   

   (0, -3).

   eliminar la x términos: multiplicar los términos de la primera ecuación por -5 (que le da -5x² - 5y²= -45) y añadir las dos ecuaciones juntas. La ecuación resultante es -5y² - 6y = -27.

   Vuelva a escribir la ecuación, haciéndola igual a 0, y el factor. Se obtiene 0 = 5y² + 6y - 27 = (5y - 9) (y + 3). Utilice la propiedad multiplicación de cero a resolver las dos soluciones de esta ecuación. Reemplazo de la y en la segunda ecuación (la ecuación de la parábola) con

   Video: Intersección de recta y parábola

   

   usted obtiene

   

   A continuación, divide ambos lados de la ecuación por 5 y tomar la raíz cuadrada de cada lado:

   

   Para encontrar la otra solución, que el y en la ecuación de la parábola ser igual a -3. Se obtiene 5x² - 6 (-3) = 18- 5x² + 18 = 18 5x² = 0. Por lo tanto, x = 0. El círculo y parábola se cruzan o el tacto en tres puntos distintos.