¿Cómo encontrar raíces imaginarias usando el teorema fundamental del álgebra
El teorema fundamental del álgebra puede ayudar a encontrar las raíces imaginarias. raíces imaginarias aparecer en una ecuación de segundo grado cuando el discriminante de la ecuación de segundo grado - la parte bajo el signo de la raíz cuadrada (segundo2 - 4C.A) - es negativo. Si este valor es negativo, no se puede realmente tomar la raíz cuadrada, y las respuestas no son reales. En otras palabras, no hay una verdadera solución-, por lo tanto, la gráfica no cruzará la x-eje.
Utilizando la fórmula cuadrática siempre le da dos soluciones, porque el signo más / menos significa que está tanto en la suma y resta y obtener dos respuestas completamente diferentes. Cuando el número debajo del signo de raíz cuadrada en la fórmula cuadrática es negativa, las respuestas se denominan complejos conjugados. Uno es r + si y el otro es r - si. Estos números tienen tanto real (la r) E imaginario (la si) partes.
El sistema de número complejo se compone de todos los números + Si r dónde r y s son números reales. Observe que cuando s = 0, simplemente tienes los números reales. Por lo tanto los números reales son un subconjunto del sistema de números complejos. El teorema fundamental del álgebra dice que cada función polinómica tiene al menos una raíz en el sistema de números complejos.
Video: Teorema fundamental del álgebra para polinomio cuadrático
El mayor grado de un polinomio le da el mayor número posible de distinta complejo raíces para el polinomio. Entre este hecho y la regla de los signos de Descartes, se puede tener una idea de cuántas raíces imaginaria tiene un polinomio.
Así es como regla de los signos de Descartes le puede dar el número de posibles raíces reales, tanto positivos como negativos:
raíces reales positivas. Para el número de raíces reales positivas, mirar en el polinomio, escrito en orden descendente, y contar cuántas veces los cambios de signos de término a término. Este valor representa el número máximo de raíces positivas en el polinomio. Por ejemplo, en el polinomio F(x) = 2x4 - 9x3 - 21x2 + 88x + 48, se ven dos cambios de signo (no se olvide de incluir el signo del primer término!) - a partir del primer plazo (+2x4) A la segunda (-9x3) Y desde el tercer término (-21x2) Para el cuarto término (88x). Eso significa que esta ecuación puede tener hasta dos soluciones positivas.
regla de los signos de Descartes dice que el número de raíces positivas es igual a los cambios de signo de F(x), O es menor que la de un número par (por lo que mantener restando 2 hasta obtener 1 o 0). Por lo tanto, la anterior F(x) Puede tener 2 o 0 raíces positivas.
raíces reales negativas. Para el número de raíces reales negativas, encontrar F(-x) Y contar de nuevo. Debido a que los números negativos elevados a potencias pares son números positivos y negativos elevadas a potencias impares son negativos, este cambio sólo afecta a los términos con potencias impares. Este paso es el mismo que cambiar cada término con un grado impar a su signo opuesto y contando los cambios de signo de nuevo, lo que le da el número máximo de raíces negativas. La ecuación de ejemplo se convierte F(-x) = 2x4 + 9x3 - 21x2 - 88x + 48, que cambia de signo dos veces. No puede haber, como máximo, dos raíces negativas. Sin embargo, similar a la regla de raíces positivas, el número de raíces negativas es igual a los cambios en la señal de F(-x), O debe ser menor que la de un número par. Por lo tanto, este ejemplo puede tener 2 o 0 raíces negativas.
Emparejar cada posible número de raíces reales positivas con cada número posible de raíces- real negativo el número restante de las raíces para cada situación representa el número de raíces imaginarias.
Video: Teorema fundamental del álgebra
Por ejemplo, el polinomio F(x) = 2x4 - 9x3 - 21x2 + 88x + 48 tiene un grado de 4, con dos o cero raíces reales positivas, y dos o cero raíces reales negativas. Con esta información, se puede emparejar las posibles situaciones:
Dos positivos y dos raíces reales negativas, con cero raíces imaginarias
Dos positiva y cero raíces reales negativas, con dos raíces imaginarias
Cero positivo y dos raíces reales negativas, con dos raíces imaginarias
Cero positivo y cero raíces reales negativas, con cuatro raíces imaginarias
La siguiente tabla hace que la información sea más fácil de la imagen:
| raíces reales positivas | raíces reales negativas | raíces imaginarias |
|---|---|---|
| 2 | 2 | 0 |
| 2 | 0 | 2 |
| 0 | 2 | 2 |
| 0 | 0 | 4 |
Los números complejos se escriben en la forma r + si y tienen tanto una real y una parte imaginaria, que es por eso que cada polinomio tiene al menos una raíz en el sistema de números complejos. Los números reales e imaginarias se incluyen tanto en el sistema de números complejos. Los números reales no tienen parte imaginaria, y los números imaginarios puros no tienen parte real. Por ejemplo, si x = 7 es una raíz del polinomio, esta raíz se considera a la vez real y complejo, ya que puede ser reescrito como x = 7 + 0yo (La parte imaginaria es 0).
Video: Determinar un polinomio si se conocen sus ceros
El teorema fundamental del álgebra da el número total de raíces complejas (por ejemplo hay siete) - regla de los signos de Descartes le indica el número posible existen raíces reales y cuántos de ellos son positivos y negativos (por ejemplo hay, como máximo, dos raíces positivas, pero sólo una raíz negativa). Ahora, supongamos que todos ellos has encontrado: x = 1, x = 7, y x = -2. Estas raíces son reales, pero también son complejos porque todos pueden ser reescritos.
Las dos primeras columnas de la tabla de encontrar las raíces reales y los clasifican como positivos o negativos. La tercera columna es en realidad encontrar, en concreto, los números no reales: los números complejos con partes imaginarias que no son cero.