Cómo ajustar el dominio y el rango de funciones combinadas
Cuando comience la combinación de funciones (como la adición de un polinomio y una raíz cuadrada, por ejemplo), el dominio de la nueva función combinada se ve afectada. Lo mismo puede decirse de la gama de un combinado Función- la nueva función se basará en la restricción (s) de las funciones originales.
El dominio se ve afectada cuando se combina con funciones de división porque las variables terminan en el denominador de la fracción. Cuando esto sucede, es necesario especificar los valores en el dominio para el que el cociente de la nueva función no está definido. Los valores no definidos se llaman también la valor excluidos para el dominio. Si F(x) = x2 - 6x + 1 y gramo(x) = 3x2 - 10, si nos fijamos en
esta fracción ha excluido valores porque F(x) Es una ecuación de segundo grado con raíces reales. Las raíces de F(x) son
por lo que se excluyen estos valores.
Por desgracia, no hay un método infalible para encontrar el dominio y rango de una función combinada. El dominio y el rango para que encuentre una función combinada dependen del dominio y el rango de cada una de las funciones originales de forma individual. Para tener una idea del dominio y el rango de la función combinada, sólo tiene que descomponer el problema y mira a los dominios y rangos individuales.
Encontrar el dominio de una composición de funciones
Dadas dos funciones, F(x) y gramo(x), Se supone que tiene que encontrar el dominio de la nueva función combinada F(gramo(x)). Para ello, es necesario encontrar el dominio de cada función individual en primer lugar. Si
y gramo(x) = 25 - x2, aquí es cómo encontrar el dominio de la función compuesta F(gramo(x)):
Encontrar el dominio de F(x).
Porque no se puede raíz cuadrada de un número negativo, el dominio de F tiene que ser todos los números no negativos. Matemáticamente, se escribe esto como
o en la notación de intervalo,
Encontrar el dominio de gramo(x).
Video: Dominio y rango función racional con radical en el denominador
Debido a que esta ecuación es un polinomio, su dominio es todos los números reales, o
Encontrar el dominio de la función combinada.
Cuando se le preguntó específicamente para observar la función compuesta F(gramo(x)), tenga en cuenta que gramo está dentro F. Todavía se está tratando con una función de raíz cuadrada, lo que significa que todas las reglas para las funciones de raíz cuadrada se siguen aplicando. Así que el nuevo radicando de la función compuesta tiene que ser no negativo:
Resolver esta desigualdad cuadrática le da
que constituyen el dominio de la función compuesta:
Encontrar el rango de una composición de funciones
Para encontrar el rango de la misma función compuesta, también se debe considerar la gama de los dos primeros funciones originales:
Encontrar el rango de F(x).
Una función de raíz cuadrada siempre da respuestas no negativos, por lo que su alcance es
Encontrar el rango de gramo(x).
Esta función es un polinomio de grado par (específicamente, un cuadrática), y polinomios incluso grado siempre tener un mínimo o un valor máximo. Cuanto más alto es el grado en el polinomio, más difícil es encontrar el mínimo o el máximo. Debido a que esta función es “sólo” un segundo grado, se puede encontrar su valores mínimos y máximos localizando el vértice.
En primer lugar, vuelva a escribir la función como gramo(x) = -x2 + 25. Esta forma se dice que la función cuadrática es una transformada que se ha desplazado hasta 25 y vuelto del revés. Por lo tanto, la función nunca se vuelve superior a 25 en el y dirección. El rango es de
Encontrar el rango de la función compuesta F(gramo(x)).
La función gramo(x) Alcanza su máximo (25) cuando x = 0. Por lo tanto, la función compuesta también alcanza su máximo en x = 0:
Video: Determinar el Rango de una Función - Ejercicio 2
El rango de la función compuesta tiene que ser menor que el valor, o
Recuerde que la gráfica de esta función combinada también depende de la gama de cada función individual. Debido a que la gama de gramo(x) Deben ser no negativo, así debe ser el rango de la función compuesta. Esto se escribe como
Por lo tanto, el rango de la función compuesta es
Si se hace un gráfico de esta función compuesta en su calculadora gráfica, se obtiene el semicírculo superior del radio de 5 que está centrada en el origen.