Cómo graficar polinomios cuando las raíces son números imaginarios - una visión general
En el pre-cálculo y cálculo, ciertas funciones polinómicas tener raíces no reales, además de raíces reales (y algunas de las funciones más complicadas tienen todas raíces imaginarias). Cuando hay que encontrar tanto, empezar por la búsqueda de las raíces reales, utilizando técnicas como la división sintética. Si tiene suerte, uno se queda con un polinomio de segundo grado deprimida para resolver eso es imposible de resolver usando respuestas de números reales. ¡Sin miedo! Sólo tienes que usar la fórmula cuadrática, a través del cual se va a terminar con un número negativo bajo el signo de la raíz cuadrada. Por lo tanto, usted expresa la respuesta como un número complejo.
Por ejemplo, el polinomio gramo(x) = x4 + x3 - 3x2 + 7x - 6 tiene raíces no reales. Siga estos pasos básicos para encontrar todas las raíces de este (o cualquier) polinomio:
Clasificar las raíces reales como positiva y negativa mediante el uso de la regla de los signos de Descartes.
Video: Expresar raíces negativas en términos de i Números complejos 323
Tres cambios de signo en el gramo(x) Revela la función que podría tener tres o una raíz real positiva. Un cambio de signo en el gramo(-x) La función revela que tiene una raíz real negativa.
Encontrar el número de raíces son posiblemente imaginaria utilizando el teorema fundamental del álgebra.
El teorema revela que, en este caso, existen hasta cuatro raíces imaginarias. Combinando este hecho con regla de los signos de Descartes le da varias posibilidades:
Una raíz real positiva y una raíz real negativa significa que dos raíces no son reales.
Tres raíces reales positivas y una raíz real negativa significa que todas las raíces son reales.
Enumerar las posibles raíces racionales, utilizando el teorema de la raíz racional.
Video: ecuación cuadrática, raíces complejas.wmv
Las posibles raíces racionales incluyen
Determinar las raíces racionales (si los hay), utilizando la división sintética.
Utilizando las reglas de división sintética, se encuentra que x = 1 es una raíz y que x = -3 es otra raíz. Estas raíces son los únicos reales.
Usa la fórmula cuadrática para resolver el polinomio deprimido.
Video: Escribir números imaginarios
Después de haber encontrado todas las raíces reales del polinomio, dividir el polinomio original de x-1 y el polinomio resultante por x + 3 para obtener el polinomio deprimido x2 - x + 2. Debido a que esta expresión es cuadrática, se puede usar la fórmula cuadrática para resolver para las dos últimas raíces. En este caso, se obtiene
Graficar los resultados.
Representación gráfica del polinomio gramo(x) = x4 + x3 - 3x2 + 7x - 6.La prueba de coeficiente principal revela que el gráfico apunta hacia arriba en ambas direcciones. Los intervalos incluyen los siguientes:
La figura anterior muestra el gráfico de esta función.