Desenterrar raíces polinómicas con la factorización

Al resolver las raíces (x-intercepciones de un polinomio), que en general tienen que factorizar la regla de función y establezca su valor en 0. La factorización puede ser simple y obvia o complicado y oscuro. Siempre esperas por la simple y obvia, mover a un reto y factible, y el recurso a los “peces gordos” cuando los factores son más oscuros.

Antes de ir a esas longitudes, sin embargo, es necesario agotar otros métodos. Los otros métodos de factorización incluyen

La división de un máximo común divisor (MCD)

Ejemplos de preguntas

1. Encuentra las raíces (soluciones) del polinomio x⁷ - 82x⁵ + 81x³ = 0.

   x= 0, 0, 0, 9, -9, 1, -1. Esta ecuación técnicamente tiene siete soluciones, pero el 0 es una raíz múltiple, por lo que terminan con sólo cinco números diferentes. Para encontrar estas soluciones, que primer factor x³ de cada término para obtener x³(x⁴ - 82x² + 81) =

   Los dos binomios son a la vez la diferencia de cuadrados perfectos, para que pueda tenerlas en cuenta en la diferencia y la suma de las raíces de los términos. Usted obtiene x³(x - 9) (x + 9) (x - 1) (x + 1) = 0. Ajuste cada uno de los factores iguales a 0, a encontrar las raíces.

2. Encuentra las raíces (soluciones) del polinomio x³ - dieciséisx² + 100x - 1,600 = 0.

   x = 16. El polinomio no tiene un factor común en los cuatro términos, pero se pueden agrupar los términos de los pares de factores comunes. Usted obtiene x²(x - 16) + 100 (x - 16) = 0, los factores que en (x - dieciséis)(x² + 100) = 0. La segunda binomial es la suma de los cuadrados, que no factor.

   La configuración de estos dos factores iguales a 0, se obtiene x = 16 desde el primer factor, pero el segundo factor no produce respuestas reales. A pesar de que comenzó con un polinomio de tercer grado, lo que puede producir hasta tres soluciones, este polinomio tiene sólo una raíz real. La solución es simplemente x = 16.

preguntas de práctica

1. Encontrar las raíces (soluciones) del polinomio 3x⁴ - 12x³ - 27x² + 108x = 0.

2. Encuentra las raíces (soluciones) del polinomio x⁵ - dieciséisx³ + x² - 16 = 0.

3. Encuentra las raíces (soluciones) del polinomio x⁶ + 9x³ + 8 = 0.

4. Encontrar las raíces (soluciones) del polinomio 36x⁵ - 13x³ + x = 0.

Video: Factorización de polinomios, sacando factor común. Aprende matemáticas

A continuación se presentan las respuestas a las preguntas de la práctica:

1. La respuesta es x= 0, 3, -3, 4.

   Primer factor 3x de cada término para obtener 3x(x³ - 4x² - 9x + 36) = 0. A continuación, puede factorizar los términos en los paréntesis mediante la agrupación: 3x[x²(x - 4) -9 (x - 4)] = 3x[(x - 4) (x² - 9)] = 3x[(x - 4) (x - 3) (x + 3)] = 0. Set cada factor igual a 0 para resolver para las raíces.

2. La respuesta es x= 4, -4, -1.

   Los factores polinomio por agrupación: x³(x² - 16) + 1 (x² - 16) = (x² - dieciséis)(x³ + 1) = (x - 4) (x + 4) (x + 1) (x² - x + 1) = 0. Los tres primeros factores que dan las raíces reales. El último factor es una ecuación cuadrática que no tiene solución real cuando lo ajusta igual a 0.

   En realidad, no tiene un factor x³ + 1 en el problema 6 para encontrar la raíz. Si se acaba de establecer x³ + 1 igual a 0, se obtiene x³ = -1, y tomando la raíz cúbica de ambos lados le da la solución -1. La forma factorizada simplemente te muestra cómo este problema podría haber tenido cinco raíces, pero no todos son números reales en este caso.

3. La respuesta es x= -2, -1.

   El polinomio de segundo grado es similar. Que es un factor en (x³ + 8) (x³ + 1) = 0. Configuración de cada factor igual a 0, se obtiene las dos raíces.

4. La respuesta es

   Video: Factorización de polinomios: Teorema de Gauss y Teorema del resto

   

   En primer lugar, el factor x de cada término para obtener x(36x⁴ - 13x² + 1) = 0. Los factores trinomio cuadrático-como, dándole x(9x² - 1) (4x² - 1) = 0. Cada binomial es la diferencia de los cuadrados, por lo tanto el factor binomios. Para la factorización final, se termina con x(3x - 1) (3x + 1) (2x - 1) (2x + 1) = 0. Configuración de cada factor igual a 0 le da las cinco soluciones diferentes.