Cómo adivinar y comprobar raíces reales - 3 - raíces de prueba al dividir polinomios usando la división sintética
Una vez que haya utilizado el teorema de la raíz racional para listar todas las posibles raíces racionales de cualquier polinomio, el siguiente paso es probar las raíces. Una forma es utilizar la división sintética. división sintética es un acceso directo para larga división de polinomios. Es un caso especial de división cuando el divisor es un factor lineal de la forma x + do, dónde do es una constante.
Video: Raíces de un polinomio (por división sintética)
Por desgracia, el acceso directo sólo funciona si el divisor (x + do) Es un familiar de primer grado binomial con un coeficiente principal de 1 (siempre se puede hacer que sea 1 dividiendo todo por el coeficiente principal en primer lugar). Por suerte, siempre se puede utilizar la división sintética para averiguar si una posible raíz es en realidad una raíz.
Estos son los pasos generales para la división sintética:
Asegúrese de que el polinomio está escrito en orden descendente.
Video: Factorización por Evaluación (usando División Sintética)
El término con el mayor exponente es lo primero.
Anote los coeficientes y la constante del polinomio de izquierda a derecha, rellenando un formulario cero términos de cualquier grado que están desaparecidos lugar la raíz que está probando fuera del signo de división sintética.
El signo de división se parece a los lados izquierdo e inferior de un rectángulo. Deje espacio por debajo de los coeficientes de escribir otra fila de números.
Desplegar el primer coeficiente por debajo del signo de división.
Multiplicar la raíz que está probando por el número que acaba de caer hacia abajo y escribir el resultado debajo de la siguiente coeficiente.
Añadir el coeficiente y el producto de la Etapa 4 y poner el resultado debajo de la línea.
Multiplicar la raíz que está probando por el resultado del paso 5 y poner el producto por debajo del siguiente coeficiente.
Continuar multiplicando y sumando hasta que utilice el último número dentro del signo de división sintética.
Si se obtiene un resto, el número que la prueba no es una raíz.
Si la respuesta es 0, felicitaciones! Usted ha encontrado una raíz. Los números por debajo de la señal de división sintética son los coeficientes del polinomio cociente. El grado de este polinomio es uno menos que el original (el dividendo), por lo que el exponente en la primera x plazo debe ser uno menos de lo que empezó.
Di que probar las raíces de la ecuación, F(x) = 2x4 - 9x3 - 21x2 + 88x + 48, y se han eliminado x = 2 utilizando el algoritmo de división, para que sepa que no empezar por ahí. Por lo tanto, decide hacer una división sintética, como se muestra en la figura para x = 4.
El 4 en el exterior en la figura es la raíz que está probando. Los números en el interior son los coeficientes del polinomio. Aquí está el proceso sintético, paso a paso:
El 2 por debajo de la línea justo cae desde la línea anterior.
Multiplicar 4 con 2 para obtener 8 y escribir que, en el próximo mandato, -9.
Añadir -9 + 8 para obtener -1.
Multiplicar 4 con -1 a -4 conseguir, y escribir que bajo el -21.
Añadir -21 + -4 conseguir -25.
Multiplicar 4 con -25 a -100 conseguir, y escribir que bajo 88.
Añadir 88 a -100 a -12 conseguir.
Multiplicar 4 con -12 a -48 conseguir, y escribir que bajo 48.
Añadir 48 a -48 para obtener 0.
Todo lo que hacemos es multiplicar y añadir, que es la razón por división sintética es el acceso directo. El último número, 0, es su resto. Debido a que recibe un resto de 0, x = 4 es una raíz.
Los otros números son los coeficientes de la cociente, en orden desde el mayor grado al menos: sin embargo, el cociente es siempre un grado menor que el grado del polinomio originales. Por lo que el cociente en este ejemplo es 2x3 - x2 - 25x - 12.
Siempre que funciona una raíz, siempre se debe probar automáticamente de nuevo en el cociente de respuesta para ver si es una raíz doble, usando el mismo proceso. UN raíz doble se produce cuando un factor tiene una multiplicidad de dos. A raíz doble es un ejemplo de la multiplicidad. usted prueba x = 4 de nuevo, como se muestra en la figura.
Video: Factorización de un polinomio por Evaluación - Teorema del Resto (DIVISIÓN SINTÉTICA)
Whaddya saber? Se obtiene un resto de 0 de nuevo, por lo x = 4 es una raíz doble. (En términos matemáticos, se dice que x = 4 es una raíz con multiplicidad de dos.) Usted tiene que comprobar de nuevo, sin embargo, para ver si tiene una multiplicidad superior. Cuando se divide de forma sintética x 4 = una vez más, que no funciona. La siguiente figura ilustra este fracaso. Debido a que el resto no es 0, x = 4 no es una raíz de nuevo.
Video: División Sintética 1
Siempre se debe trabajar fuera el más nuevo cociente al utilizar la división sintética. De esta manera, el grado pone más y más hasta que terminan con una expresión cuadrática, o hasta que haya agotado todas las posibles raíces racionales. Si una expresión cuadrática se mantiene, puede resolver la ecuación cuadrática mediante el uso de técnicas tales como la factorización, completando el cuadrado, o la fórmula cuadrática.
Antes de la prueba x = 4 durante un tiempo final, el polinomio (llamado polinómica deprimida) Se había reducido a un cuadrática: 2x2 + 7x + 3. Si se toma esta expresión, se obtiene (2x + 1) (x + 3). Esto le da más dos raíces de -1/2 y -3. Para resumir todo esto, has encontrado x = 4 (dos multiplicidad), x = -1/2, y x = -3. Encontraste cuatro raíces complejas - dos de ellos son números reales negativos, y dos de ellos son números reales positivos.
los teorema del resto Dice que el resto se obtiene cuando se dividir un polinomio entre un binomio es el mismo que el resultado que se obtiene de enchufar el número en el polinomio. Por ejemplo, cuando se utiliza el algoritmo de división para dividir por x - 2, que estaba probando para ver si x = 2 es una raíz. Que podría haber utilizado división sintética para hacer esto, porque todavía se obtiene un residuo de 100. Y si se conecta a 2 F(x) = 2x4 - 9x3 - 21x2 + 88x + 48, también puede obtener 100.