¿Cómo combinar los ángulos de referencia con otras técnicas para resolver ecuaciones trigonométricas

Puede incorporar ángulos de referencia en algunas otras técnicas de pre-cálculo para resolver ecuaciones trigonométricas. Una de tales técnicas es la factorización. Usted ha sido factoring desde el álgebra, por lo que este proceso no debe ser nada nuevo. Cuando nos enfrentamos a una ecuación que es igual a 0 y una función trigonométrica que se está al cuadrado, o si tiene dos funciones trigonométricas diferentes que se están multiplicando juntos, usted debe tratar de usar la factorización para obtener su primera solución. Después de la factorización, se puede utilizar la propiedad del producto cero para ajustar cada factor igual a 0 y luego resolverlos por separado.

Intenta resolver un ejemplo que consiste en factorizar un trinomio pecado 2² x + pecado x - 1 = 0 mediante los pasos siguientes:

1. Deje que una variable es igual a la relación trigonométrica y volver a escribir la ecuación para simplificar.

   Dejar u = sen x y volver a escribir la ecuación como 2u² + u - 1 = 0.

2. Asegúrese de que los factores de la ecuación.

   Recuerde que debe comprobar siempre para el factor común más grande primero.

3. Factorizar la ecuación cuadrática.

   La ecuación 2u² + u - 1 = 0 factores a (u + 1) (2u - 1) = 0.

4. Cambiar las variables de nuevo a las funciones trigonométricas.

   Reescribiendo la ecuación trigonométrica factorizado le da (el pecado x + 1) (2 pecado x - 1) = 0.

5. Utilice la propiedad del producto cero para resolver.

   Si el pecado x + 1 = 0 entonces el pecado x = -1. Si 2sin x - 1 = 0, entonces el pecado x = 1/2. Por lo tanto,

   

En el pre-cálculo, es posible que tenga que tomar la raíz cuadrada de ambos lados para resolver una función de la trigonometría. Por ejemplo, si te dan una ecuación como 4 sen² x - 3 = 0, siga estos pasos:

1. Deje una variable igual a la expresión trigonométrica y volver a escribir la ecuación para simplificar.

   Dejar u = sen x y volver a escribir la ecuación como 4u² - 3 = 0.

2. Aislar la expresión trigonométrica.

   Para 4u² - 3 = 0, añadir 3 a cada lado y se divide por 4 en ambos lados para conseguir u² = 3/4.

3. Tomar la raíz cuadrada de ambos lados.

   No se olvide de tomar las raíces cuadradas positivas y negativas, que le da

   

4. Cambiar las variables de nuevo a las funciones trigonométricas.

   Reescribiendo la ecuación trigonométrica factorizado le da

   

5. Resolver para encontrar el ángulo de referencia.

   El seno de x es tanto positiva como negativa para este ejemplo, lo que significa que las soluciones, o ángulos, están en los cuatro cuadrantes. Las soluciones positivas están en los cuadrantes I y II, y las soluciones negativos son en los cuadrantes III y IV. Utilice el ángulo de referencia en el cuadrante I que lo guíe hacia las cuatro soluciones.

   Si

   

   el y valor en el primer cuadrante es la pata larga del triángulo 30-60-90 grados. Por lo tanto, el ángulo de referencia es

   

6. Encontrar las soluciones.

   Utilice el ángulo de referencia para encontrar las cuatro soluciones:

   

   Tenga en cuenta que dos de estas soluciones provienen del valor positivo de seno y dos vienen desde el valor negativo de seno.