Traducir la ecuación de schrödinger a tres dimensiones
En la física cuántica, puede romper la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones en tres ecuaciones de Schrödinger unidimensionales para que sea más fácil de resolver problemas 3D. En una dimensión, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (que le permite encontrar una función de onda) es el siguiente:
Y se puede generalizar que en tres dimensiones como esta:
Usando el operador de Laplace, se puede reformular esto en una forma más compacta. Esto es lo que el Laplaciano se ve así:
Y aquí está la ecuación de Schrödinger en 3D utilizando el Laplaciano:
Para resolver esta ecuación, cuando el potencial no varía con el tiempo, romper la parte dependiente del tiempo de la función de onda:
Aquí,
es la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, y E es la energía:
Video: El gato de Schrodinger
Hasta aquí todo bien. Pero ahora le han acabado en una pared - la expresión
es en general muy difícil de tratar, por lo que la ecuación actual es en general muy difícil de resolver.
Entonces, ¿qué debería hacer? Bueno, usted puede centrarse en el caso en el que la ecuación es separable - es decir, donde se puede separar el x, y, y z dependencia y encontrar la solución en cada dimensión por separado. En otras palabras, en los casos separables, el potencial, V (x, y, z), Es en realidad la suma de las x, y, y z potenciales:
V (x, y, z) = Vx(x) + Vy(y) + Vz(z)
Ahora se puede romper el hamiltoniano en
Video: 145 Introducción a la Mecánica Cuántica - Ecuación radial
en tres Hamilitonians, Hx, MARIDOy, y Hz:
dónde
Cuando se divide el hamiltoniano como en
también se puede dividir la función de onda que resuelve la ecuación. En particular, se puede romper la función de onda en tres partes, una para x, y, y z:
Donde X (x), Y (y), Y Z (z) Son funciones de las coordenadas x, y, y z y no deben ser confundidos con los operadores de posición. Esta separación de la función de onda en tres partes va a hacer la vida mucho más fácil, porque ahora se puede romper el hamiltoniano en tres operadores independientes añadidos juntos:
E = Ex + miy + miz
Por lo que ahora tiene tres ecuaciones de Schrödinger independientes para las tres dimensiones:
Este sistema de ecuaciones diferenciales independientes parece mucho más fácil de resolver que
En esencia, se ha roto la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones en tres ecuaciones de Schrödinger unidimensionales. Eso hace que la solución de problemas en 3D tratable.