Cómo simplificar y dividir la ecuación de schrödinger de hidrógeno
En la física cuántica, es posible que necesite para simplificar y dividir la ecuación de Schrödinger para el hidrógeno. Aquí está la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica habitual para el átomo de hidrógeno:
El problema es que usted está tomando en cuenta la distancia que el protón es del centro de masa del átomo, por lo que la matemática es desordenado. Si se va a suponer que el protón es estacionaria y que rpag = 0, esta ecuación se rompería a la siguiente, que es mucho más fácil de resolver:
Por desgracia, esta ecuación no es exacta debido a que ignora el movimiento del protón, por lo que ver la versión más completa de la ecuación en los textos de la mecánica cuántica.
Para simplificar la ecuación de Schrödinger de costumbre, puede cambiar a las coordenadas de centro-de-masa. El centro de masa del sistema de protones / electrones se encuentra en esta ubicación:
Y el vector entre el electrón y el protón es
r = rmi - rpag
Video: Simplificación de expresiones con radicales - Ejercicio 1
El uso de vectores R y r en lugar de rmi y rpag hace que la ecuación de Schrödinger más fácil de resolver. El Laplaciano de R es
Y el Laplaciano de r es
Video: Simplificar y racionalizar una expresión algebraica
¿Cómo se puede relacionar
a de la ecuación habitual
Después se instala el álgebra, se obtiene
donde M = metromi + metropag es la masa total y
que se llama el reducción de la masa. Cuando juntas las ecuaciones para el centro de masa, el vector entre el protón y el electrón, la masa total, y metro, entonces la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se convierte en la siguiente:
Entonces, dados los vectores, R y r, el potencial está dada por,
La ecuación de Schrödinger se convierte
Esto se ve más fácil - la mejora principal es que ahora tiene |r| en el denominador del término de energía potencial en lugar de |rmi - rpag|.
Debido a que la ecuación contiene términos que implican cualquiera R o r pero no ambos, la forma de esta ecuación indica que es una ecuación diferencial separable. Y eso significa que se puede buscar una solución de la siguiente forma:
Sustituyendo la ecuación anterior, en el que antes de que se da la siguiente:
Video: Simplificación de expresiones con radicales - Ejercicio 4
Y dividiendo esta ecuación por
te dio
Bien bien bien. Esta ecuación tiene términos que dependen de cualquiera
Pero no ambos. Esto significa que puede separar esta ecuación en dos ecuaciones, como este (donde la energía total, E, E es igualR + mir):
multiplicando
te dio
y multiplicando
te dio
Ahora usted tiene dos ecuaciones de Schrödinger, que se puede resolver de forma independiente.