La solución de la función de onda del pequeño r y r grande usando la ecuación de schrödinger
Su instructor de la física cuántica puede pedirle que resuelva para la función de onda para una partícula maquillada de la masa metro en un átomo de hidrógeno. Para ello, puede comenzar utilizando una ecuación de Schrödinger modificado que resuelve para grandes y pequeños r:
Debido a que la ecuación de Schrödinger contiene términos que implican cualquiera R o r pero no ambos, la forma de esta ecuación indica que es una ecuación diferencial separable. Y eso significa que se puede buscar una solución de la siguiente forma:
Sustituyendo la ecuación anterior, en el que antes de que se da la siguiente:
Y dividiendo esta ecuación por
te dio
Esta ecuación tiene términos que dependen de cualquiera
Pero no ambos. Esto significa que puede separar esta ecuación en dos ecuaciones, como este (donde la energía total, E, E es igualR + mir):
Video: 34 Introducción a la Mecánica Cuántica - Función de onda
multiplicando
te dio
y multiplicando
te dio
Ahora se puede resolver r, tanto pequeñas como grandes.
Despejando pequeña r
La ecuación de Schrödinger para
es la función de onda para una partícula hecha plano de masa metro (en la práctica,
Está bastante cerca de
por lo que la energía, Er, Está bastante cerca de la energía del electrón). Aquí está la ecuación de Schrödinger para
Puede romper la solución,
en una parte radial y una parte angular:
La parte angular de
se compone de armónicos esféricos,
por lo que está bien esa parte. Ahora usted tiene que resolver para la parte radial Rnl(r). Esto es lo que se convierte en la ecuación de Schrödinger para la parte radial:
dónde
Para resolver esta ecuación, se echa un vistazo a los dos casos - donde r es muy pequeño y donde r es muy grande. Ponerlos juntos le da la forma aproximada de la solución.
Despejando grande r
Por muy grande r,
Debido a que el electrón se encuentra en un estado ligado en el átomo de hidrógeno, E lt; 0- Por lo tanto, la solución a la ecuación anterior es proporcional a
Tenga en cuenta que
diverge como r tiende a infinito, debido a la
plazo, de modo B debe ser igual a cero. Eso significa que
