Calcular la función de onda de un átomo de hidrógeno usando la ecuación de schrödinger
Si su instructor de la física cuántica le pide que encontrar la función de onda de un átomo de hidrógeno, se puede comenzar con la ecuación de Schrödinger radial, Rnl(r), Que le dice que
La ecuación anterior proviene de la solución de la ecuación de Schrödinger radial:
La solución sólo es bueno para una constante multiplicativa, por lo que añadir una constante, A talesnl (Que resulta dependerá del número cuántico principal norte y el número cuántico del momento angular l), Me gusta esto:
A encontrar unanl normalizando Rnl(r).
Video: 51.- Resolución exacta del Átomo de Hidrógeno (1/2)
Ahora tratar de resolver para Rnl(r) Con sólo de plano hacer los cálculos. Por ejemplo, tratar de encontrar R10(r). En este caso, norte = 1 y l = 0. Entonces, porque N + l + 1 = norte, usted tiene N = norte - l - 1. Así que N = 0 aquí. Eso hace que Rnl(r) se parece a esto:
Y la suma de esta ecuación es igual a
Y porqué l = 0, rl = 1, por lo
Por lo tanto, también se puede escribir
dónde r0 es el radio de Bohr. Para encontrar una10 y un0, a normalizar
a 1, lo que significa la integración
por todo el espacio y establecer el resultado a 1.
y la integración de los armónicos esféricos, tales como Y00, sobre una esfera completa,
le da 1. Por lo tanto, uno se queda con la parte radial para normalizar:
enchufando
dentro
te dio
Puede resolver este tipo de una sola pieza con la siguiente relación:
Con esta relación, la ecuación
se convierte
Por lo tanto,
Este es un resultado bastante simple. Porque un10 está ahí para normalizar el resultado, se puede establecer una10 a 1 (esto no sería el caso si
varios términos involucrados). Por lo tanto,
Eso está bien, y hace R10(r), cual es
Tú lo sabes
Y entonces
se convierte
Uf. En general, esto es lo que la función de onda
parece que para el hidrógeno:
dónde
es un polinomio de Laguerre generalizada. Estos son los primeros polinomios de Laguerre generalizados:
