Trabajar con tres dimensiones osciladores armónicos
En la física cuántica, cuando se está trabajando en una dimensión, el oscilador armónico de partículas en general se parece a la figura que se muestra aquí, donde la partícula está bajo la influencia de una fuerza de restauración - en este ejemplo, se muestra como un resorte.
Video: Clase 5 Oscilador Armónico Mecánico Cuántico
La fuerza de recuperación tiene la forma Fx = -kxx en una dimensión, donde kx es la constante de proporcionalidad entre la fuerza sobre la partícula y la ubicación de la partícula. La energía potencial de la partícula como una función de la ubicación x es
Esto también se escribe a veces como
Ahora echa un vistazo a la oscilador armónico en tres dimensiones. En tres dimensiones, el potencial se ve así:
Ahora que tiene una forma para el potencial, se puede empezar a hablar en términos de la ecuación de Schrödinger:
Video: Ecuaciones para osciladores armónicos simples | Física | Khan Academy en Español
Sustituyendo en el potencial en tres dimensiones, V (x, y, z), Le da la siguiente ecuación:
Tome esta dimensión por dimensión. Porque se puede separar el potencial en tres dimensiones, se puede escribir
Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger se parece a esto para x:
Resolviendo esta ecuación, se obtiene el siguiente solución:
dónde
y nortex = 0, 1, 2, y así sucesivamente. El Hnortex término indica un polinomio de Hermite, que se ve así:
MARIDO0(x) = 1
MARIDO1(x) = 2x
MARIDO2(x) = 4x2 - 2
MARIDO3(x) = 8x3 - 12x
MARIDO4(x) = 16x4 - 48x2 + 12
MARIDO5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x
Por lo tanto, se puede escribir la función de onda de esta manera:
Esa es una forma relativamente fácil para una función de onda, y todo es hecho posible por el hecho de que se puede separar el potencial en tres dimensiones.
¿Qué pasa con la energía del oscilador armónico? La energía de un oscilador armónico unidimensional es
Y por analogía, la energía de un oscilador armónico tridimensional está dada por
Tenga en cuenta que si usted tiene un oscilador armónico isótropo, donde
Video: 141 Introducción a la Mecánica Cuántica - Oscilador armónico cuántico en 3 dimensiones
la energía se ve así:
En cuanto al potencial cúbico, la energía de un oscilador armónico isótropo 3D es degenerado. Por ejemplo, E112 E =121 E =211. De hecho, es posible tener más de tres veces la degeneración de un oscilador armónico isótropo 3D - por ejemplo, E200 E =020 E =002 E =110 E =101 E =011.
En general, la degeneración de un oscilador armónico isótropo 3D es
dónde norte = nortex + nortey + nortez.