Cómo derivar la ecuación de schrödinger
En la física cuántica, la técnica de Schrödinger, que implica la mecánica ondulatoria, utiliza funciones de onda, principalmente en la base de posición, para reducir las preguntas en la física cuántica a una ecuación diferencial.
Werner Heisenberg desarrolló la vista orientada matriz de la física cuántica, a veces llamada mecánica de matrices. La representación de la matriz está bien para muchos problemas, pero a veces hay que ir más allá de ella, ya que estás a punto de ver.
Uno de los problemas centrales de la mecánica cuántica es calcular los niveles de energía de un sistema. El operador de energía se llama el hamiltoniano, H, y la búsqueda de los niveles de energía de un sistema se reduce a encontrar los valores propios del problema:
Aquí, E es un valor propio del operador H.
Aquí está la misma ecuación en términos de la matriz:
Los niveles de energía permitidas del sistema físico son los valores propios E, que satisfacen esta ecuación. Estos se pueden encontrar resolviendo el polinomio característico, que deriva de ajustar el determinante de la matriz de arriba a cero, como tan
Eso está bien si usted tiene una base de vectores propios discreta - si el número de estados de energía es finita. Pero lo que si el número de estados de energía es infinita? En ese caso, ya no se puede utilizar de forma discreta para sus operadores y los sujetadores y las TFE - se utiliza una continuo base.
En representación de la mecánica cuántica en una base continua es una invención del físico Erwin Schrödinger. En la base continua, se convierten en sumas integrales. Por ejemplo, tome la siguiente relación, donde I es la matriz identidad:
Se convierte en la siguiente:
Y cada KET
se puede ampliar en una base de otras TFE,
Me gusta esto:
Echar un vistazo a la posición del operador, R, en una base continua. La aplicación de este operador le da r, el vector de posición:
En esta ecuación, aplicando el operador de posición a un vector de estado devuelve los sitios, r, que una partícula puede encontrarse en. Puede ampliar cualquier ket en la base posición de la siguiente manera:
Y esto se convierte
Aquí hay una cosa muy importante comprender:
es el ola función para el vector de estado
- es la representación del KET en la base de posición.
O en términos comunes, es sólo una función en la que la cantidad
representa la probabilidad de que la partícula se encuentre en la región de re3r con centro en r.
La función de onda es la base de lo que se llama la mecánica ondulatoria, en contraposición a la matriz mecánica. Lo que es importante tener en cuenta es que cuando se habla de representación de los sistemas físicos de la mecánica ondulatoria, no utiliza los sujetadores y las TFE de la matriz base, menos mechanics- más bien, que suelen utilizar la función de onda - es decir, los sujetadores y TFE en el bases posición.
Por lo tanto, se pasa de hablar de
Esta función de onda es sólo un ket en la base de posición. Así que en la mecánica ondulatoria,
se convierte en la siguiente:
Video: DERIVACIÓN IMPLÍCITA - Ejercicio 1
Puede escribir esto como el siguiente:
Pero lo que es
Es igual a
El operador hamiltoniano, H, es la energía total del sistema, cinética (pag2/ 2metro) Más potencial (V (r)) Para que pueda obtener la siguiente ecuación:
Sin embargo, el operador de momento es
Video: Derivada implicita 01 UNIVERSIDAD unicoos derivar MATEMATICAS
Por lo tanto, sustituyendo el operador momento de pag le da esto:
Usando el operador de Laplace, se obtiene la siguiente ecuación:
Puede volver a escribir esta ecuación como la siguiente (llamada ecuación de Schrödinger):
Así que en la vista de la mecánica ondulatoria de la física cuántica, que está ahora trabajando con una ecuación diferencial en lugar de múltiples matrices de elementos. todo esto venía de trabajar en base a la posición,
Al resolver la ecuación de Schrödinger para
se encuentran los estados de energía permitidos para un sistema físico, así como la probabilidad de que el sistema estará en un cierto estado de posición.
Tenga en cuenta que, aparte de las funciones de onda en la base de posición, también se puede dar una función de onda en la base impulso,
o en cualquier número de otras bases.