Cómo desacoplar diferentes partículas en ecuaciones linealmente independientes
En la física cuántica, se puede desacoplar los sistemas de partículas que se pueden distinguir - es decir, sistemas de partículas identificables diferentes - en ecuaciones linealmente independientes. Para ilustrar esto, supongamos que tiene un sistema de muchos tipos diferentes de coches flotando en el espacio. Se puede distinguir todos esos coches porque son todos diferentes - que tienen diferentes masas, por una cosa.
Ahora dicen que cada vehículo interactúa con su propio potencial - es decir, la posibilidad de que toda ve un coche no depende de ningún otro coche. Eso significa que el potencial de todos los coches es simplemente la suma de los potenciales individuales de cada vehículo ve, que se parece a esto, suponiendo que tiene los coches N:
Ser capaz de cortar la energía potencial hasta en una suma de términos independientes como este hace la vida mucho más fácil. Esto es lo que el hamiltoniano se ve así:
Nótese cómo mucho más simple esta ecuación es que este hamiltoniano para el átomo de hidrógeno:
Observe que puede separar la ecuación anterior para el potencial de todos los coches en n ecuaciones diferentes:
Video: 80. Cómo se define un conjunto de funciones linealmente independientes
Y la energía total es la suma de las energías de los coches individuales:
Y la función de onda es simplemente el producto de las funciones de onda individuales:
excepto que significa un producto de términos, no una suma, y norteyo se refiere a todos los números cuánticos de la yo-ésima partícula.
Como se puede ver, cuando las partículas de las que está trabajando son distinguibles y con sujeción a los potenciales independientes, el problema de manejar muchos de ellos se hace más simple. Puede romper el sistema arriba en sistemas independientes de una sola partícula N. La energía total es la suma de las energías individuales de cada partícula. La ecuación de Schrödinger se descompone en N diferentes ecuaciones. Y la función de onda termina siendo simplemente el producto de las funciones de onda de los diferentes N partículas.
Echar un vistazo a un ejemplo. Digamos que tiene cuatro partículas, cada una con una masa diferente, en un pozo cuadrado. Usted quiere encontrar la energía y la función de onda de este sistema. Esto es lo que el potencial del pozo cuadrado se parece a esto para cada una de las cuatro partículas que no interactúan:
Video: 3.1 COMBINACIÓN LINEAL: DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Esto es lo que la ecuación de Schrödinger se ve así:
Puede separar la ecuación anterior en cuatro ecuaciones de un partícula:
Video: Espacios vectoriales 3 vectores linealmente independiente , dependientes definición
Los niveles de energía son
Y debido a que la energía total es la suma de las energías individuales es
la energía en general es
Así que aquí está la energía del estado fundamental - en donde todas las partículas están en sus estados fundamentales, norte1 = norte2 = norte3 = norte4 = 1:
Para un sistema unidimensional con una partícula en un pozo cuadrado, la función de onda es
La función de onda para el sistema de cuatro de partícula es simplemente el producto de las funciones de onda individuales, por lo que se ve así:
Por ejemplo, para el estado fundamental, norte1 = norte2 = norte3 = norte4 = 1, que tiene
Video: ÁLGEBRA - Estudiar la dependencia o independencia lineal de un conjunto de vectores
Así como se puede ver, los sistemas de N partículas independientes, distinguibles a menudo son susceptibles a la solución - todo lo que tiene que hacer es separarlos en N ecuaciones independientes.