¿Cómo encontrar las funciones propias de la l2 en coordenadas esféricas
Su instructor de la física cuántica puede pedirle que encontrar las funciones propias de L2 en coordenadas esféricas. Para ello, se empieza con la función propia del
dado que en coordenadas esféricas, la L2 operador se ve así:
Video: gradiente en coordenadas cilíndricas
Eso es todo un operador. Y, teniendo en cuenta que
se puede aplicar la L2 operador
Video: VOLUMEN CALCULADO CON UNA INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES
que se da la siguiente:
Y porqué
esta ecuación se convierte
Vaya, ¿qué has metido? Cancelación de términos y restando la derecha, lado de la izquierda, finalmente, le da esta ecuación diferencial:
Combinando términos y dividiendo por
le da la siguiente:
¡Santo cielo! ¿No hay alguien que haya tratado de resolver este tipo de ecuación diferencial antes? Sí hay. Esta ecuación es una ecuación diferencial de Legendre, y las soluciones son bien conocidos. (! Uf) En general, las soluciones adoptan esta forma:
dónde
Video: INTEGRALES TRIPLES Coordenadas esféricas
es el función de Legendre.
¿Cuáles son las funciones de Legendre? Puede comenzar por separar el metro la dependencia, que funciona de esta manera con las funciones de Legendre:
donde Pl(x) Se llama polinomio de Legendre y viene dada por la fórmula Rodrigues:
Se puede utilizar esta ecuación para derivar los primeros polinomios de Legendre como este:
y así. Eso es lo que los primeros pocos Pl (xpolinomios) parecen. Entonces, ¿qué hacer las funciones de Legendre asociadas, Plm (x) ¿parece? También puede calcularlos. Usted puede comenzar con Pl0 (x), dónde metro = 0. Esos son fácil porque Pl0 (x) = Pl (x), asi que
Video: Coordenadas esféricas
Además, se puede encontrar que
Estas ecuaciones que dan una visión de lo que el Plm funciones parecen, lo que significa que casi ha terminado. Como se recordara,
está relacionada con el Plm funciones como este:
Y ahora que sabes lo que el Plm funciones parecen, pero lo hacen Clm, las constantes, se parecen? Tan pronto como usted tiene esos, que tendrá las funciones propias completas del momento angular,
Usted puede ir sobre el cálculo de las constantes Clm la manera que siempre calcular estas constantes de integración en la física cuántica - a normalizar las funciones propias a 1.
que tiene este aspecto:
(Recuerde que el símbolo del asterisco significa el complejo conjugado. Un conjugado complejo voltea el signo que conecta las partes real e imaginaria de un número complejo.)
Sustituir las tres cantidades siguientes en esta ecuación:
Se obtiene lo siguiente:
por lo que este se convierte
Usted puede evaluar la integral a lo siguiente:
Así, en otras palabras:
Lo que significa que
que es la función propia de movimiento angular en coordenadas esféricas, es
Las funciones dadas por esta ecuación se llaman el armónicos esféricos normalizados. Aquí son lo que los primeros armónicos esféricos normalizados se parecen:
De hecho, puede utilizar estas relaciones para convertir los armónicos esféricos a coordenadas rectangulares:
Sustituyendo estas ecuaciones en
le da los armónicos esféricos en coordenadas rectangulares:
