Comprender el intervalo de convergencia
A diferencia de serie geométrica y pag-Series, una serie de potencias converge o diverge a menudo en función de su x valor. Esto conduce a un nuevo concepto cuando se trata de series de potencias: el intervalo de convergencia.
los intervalo de convergencia para una serie de potencias es el conjunto de x los valores para los que converge esa serie.
El intervalo de convergencia no está vacía
Cada serie de potencias converge para algún valor de x. Es decir, el intervalo de convergencia de una serie de potencias nunca es el conjunto vacío.
A pesar de este hecho tiene implicaciones útiles, en realidad es casi una obviedad. Por ejemplo, echar un vistazo a la siguiente serie de potencias:
Cuando x = 0, esta serie se evalúa como 1 + 0 + 0 + 0 + ..., por lo que, obviamente, converge a 1. Del mismo modo, echar un vistazo a esta serie de potencias:
Esta vez, cuando x = -5, la serie converge a 0, tal como trivialmente como el último ejemplo.
Tenga en cuenta que en ambos ejemplos, la serie converge en trivialmente x = un para una serie de potencias con centro en un.
Video: Intervalos de Convergencia de Series de Potencias
Tres posibilidades para el intervalo de convergencia
Existen tres posibilidades para el intervalo de convergencia de cualquier serie de potencias:
La serie converge sólo cuando x = un.
La serie converge en algún intervalo (abierto o cerrado en cada extremo) con centro en un.
La serie converge para todos los valores reales de x.
Por ejemplo, suponga que desea encontrar el intervalo de convergencia para:
Esta serie de potencias está centrada en 0, por lo que converge cuando x = 0. Utilizando la prueba de razón, se puede averiguar si converge para cualquier otro valor de x. Para empezar, establecer el límite siguiente:
Para evaluar este límite, empezar por cancelación xnorte en el numerador y el denominador:
A continuación, distribuir para eliminar los paréntesis en el numerador:
En su forma actual, este límite es de la forma
por lo que aplicar la regla de L`Hopital, distinguiendo sobre la variable norte:
A partir de este resultado, la prueba de razón te dice que la serie:
Converge cuando -1 lt; x lt; 1
Video: Me Salva! SER25 - Raio e Intervalo de Convergência: Exercício 1
diverge cuando x lt; -1 y x gt; 1
Pueden converger o divergir cuando x = 1 y x = -1
Afortunadamente, es fácil ver lo que sucede en estos dos casos restantes. Esto es lo que la serie se ve como cuando x = 1:
Es evidente que la serie diverge. Del mismo modo, esto es lo que parece cuando x = -1:
Esta serie alternada balancea violentamente entre los valores negativos y positivos, por lo que también diverge.
Como último ejemplo, suponga que desea encontrar el intervalo de convergencia de las siguientes series:
Esta serie está centrada en 0, por lo que converge cuando x = 0. La verdadera pregunta es si converge para otros valores de x. Debido a que esta es una serie alternante, se aplica la prueba de razón a la versión positiva de él para ver si se puede demostrar que es absolutamente convergente:
En primer lugar, desea simplificar esto un poco:
A continuación, se expande a cabo los exponentes y factoriales:
En este punto, una gran cantidad de cancelación es posible:
Esta vez, el límite se encuentra entre -1 y 1 para todos los valores de x. Este resultado indica que la serie converge absolutamente para todos los valores de x, por lo que la serie alternada converge también para todos los valores de x.