La determinación de si una serie de taylor es convergente o divergente
Debido a la serie de Taylor es una forma de series de potencias, todas las series de Taylor también tiene un intervalo de convergencia. Cuando este intervalo es todo el conjunto de los números reales, se puede utilizar la serie para encontrar el valor de F(x) Para cada valor real de x.
Sin embargo, cuando se limita el intervalo de convergencia de una serie de Taylor - es decir, cuando se aparta para algunos valores de x - se puede usar para encontrar el valor de F(x) solamente en su intervalo de convergencia.
Por ejemplo, aquí están las tres series de Taylor importante:
Video: Como saber fácilmente si una serie converge: Prueba de la Comparación
Los tres de estas series convergen para todos los valores reales de x, por lo que cada es igual al valor de su función respectiva.
Ahora considere la siguiente función:
Es necesario expresar esta función como una serie de Maclaurin, que toma esta forma:
Video: Sucesiones convergentes y divergentes
la notación F(norte) significa “el norteº derivado de F.”Esto se hace más claro en la versión expandida de la serie de Maclaurin:
Para hacer esto, siga estos pasos:
Encuentra los primeros derivados de
hasta reconocer un patrón:
Sustituto 0 para x en cada uno de estos derivados de:
Enchufe estos valores, término a término, en la fórmula para la serie de Maclaurin:
Si es posible, expresar la serie en notación sigma:
Para probar esta fórmula, se puede usar para encontrar F(x) cuando
Puede probar la exactitud de esta expresión mediante la sustitución
Como se puede ver, la fórmula produce la respuesta correcta. Ahora trata de usarlo para encontrar F(x) cuando x = 5, y señaló que la respuesta correcta debería ser
Video: Como determinar si una serie es convergente o divergente
¿Que pasó? Esta serie converge solamente en el intervalo (-1, 1), por lo que la fórmula produce sólo el valor F(x) cuando x es en este intervalo. Cuando x está fuera de este intervalo, la serie diverge, por lo que la fórmula es válida.