Conexión de una serie con sus dos secuencias relacionadas
Cada serie tiene dos secuencias relacionadas: una secuencia de definición y una secuencia de sumas parciales. La distinción entre una secuencia y una serie es la siguiente:
Una secuencia es una lista de números separados por comas (Por ejemplo: 1, 2, 3, ...).
Una serie es una suma de números separados por signos más (Por ejemplo: 1 + 2 + 3 + ...).
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Cuando se ve cómo una serie y sus dos secuencias relacionadas son distintos, pero también relacionado, a obtener una comprensión más clara de cómo el trabajo en serie.
Una serie y su secuencia de definir
La primera secuencia relacionada con una serie es simplemente la secuencia que define la serie en el primer lugar. Por ejemplo, aquí hay tres series escritas tanto en la notación sigma y la notación expandida, cada uno emparejado con su secuencia de la definición:
Cuando una secuencia {unnorte} ya está definido, puede utilizar la notación Σ unnorte para referirse a la partida serie relacionada en norte = 1. Por ejemplo, cuando
La comprensión de la distinción entre una serie y la secuencia que lo define es importante por dos razones. La primera y más básica, que no desea obtener los conceptos de secuencias y series confundido. Pero en segundo lugar, la secuencia que define una serie puede proporcionar información importante acerca de la serie.
Una serie y sus secuencias de sumas parciales
Usted puede aprender mucho acerca de una serie mediante la búsqueda de la sumas parciales de sus primeros términos. Por ejemplo, he aquí una serie que se ha visto antes:
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Y aquí están los primeros cuatro sumas parciales de esta serie:
Puede activar las sumas parciales de esta serie en una secuencia de la siguiente manera:
En general, todas las series Σ unnorte tiene una secuencia relacionada de sumas parciales {Snorte}. Por ejemplo, aquí hay algunos de estos pares:
Recuerde que cada serie y su secuencia relacionada de sumas parciales son o bien tanto convergente o tanto divergente. Por otra parte, si los dos son convergentes, ambos convergen al mismo número.
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Esta regla no debería ser una gran sorpresa. Después de todo, una secuencia de sumas parciales simplemente le da un total acumulado de hacia dónde va una serie. Sin embargo, esta regla puede ser útil. Por ejemplo, suponga que desea saber si la siguiente secuencia es convergente o divergente:
¿Qué diablos es esta secuencia, de todos modos? Tras un examen más profundo, sin embargo, se descubre que es la secuencia de sumas parciales de una serie muy simple:
Esta serie, llamada serie armónica, es divergente, por lo que se puede concluir que su secuencia de sumas parciales también diverge.