Cómo expandir un binomio que contiene los números complejos
El tipo más complicado de expansión binomial implica el número complejo yo, porque no sólo está tratando con el teorema del binomio, pero en relación con los números imaginarios también. Al levantar los números complejos a una potencia, tenga en cuenta que yo1 = I, yo2 = -1, yo3 = -yo, y yo4 = 1. Si se encuentra con poderes superiores, este patrón se repite: yo5 = yo, yo6 = -1, yo7 = -yo, y así. Porque los poderes del número imaginario yo se puede simplificar, su respuesta final a la expansión no debería incluir facultades de yo. En su lugar, utilice la información dada aquí para simplificar los poderes de yo y luego combinar los términos semejantes.
Video: Desarrollo de binomios con exponentes 5 y 6
Por ejemplo, para expandir (1 + 2yo)8, sigue estos pasos:
Escribir el desarrollo del binomio utilizando el teorema del binomio, sustituyendo en las variables cuando sea necesario.
En caso de haber perdido, aquí es el teorema del binomio:
Usando el teorema, (1 + 2yo)8 expande a
Encuentra los coeficientes binomiales.
Para ello, se utiliza la fórmula para el desarrollo del binomio, que se escribe de la siguiente forma:
Video: Cubos con números complejos
Usted puede recordar el término factorial de sus clases de matemáticas anteriores. Si no, aquí es un recordatorio: norte!, que reza como “n factorial,” se define como
Utilizando la fórmula de combinación que da la siguiente:
Video: Cómo resolver potencias de números complejos. Mica
Reemplaza todo
con los coeficientes de la Etapa 2.
1 (1)8(2yo)0 + 8 (1)7(2yo)1 + 28 (1)6(2yo)2 + 56 (1)5(2yo)3 + 70 (1)4(2yo)4 + 56 (1)3(2yo)5 + 28 (1)2(2yo)6 + 8 (1)1(2yo)7 + 1 (1)0(2yo)8
Elevar los monomios a las facultades que se indican para cada término.
1 (1) (1) + 8 (1) (2i) + 28 (1) (4I2) + 56 (1) (8i3) + 70 (1) (16i4) + 56 (1) (32i5) + 28 ( 1) (64i6) + 8 (1) (128i7) + 1 (1) (256i8)
simplificar cualquier yo‘S que se puede.
Video: Potencias de números Complejos- Ejemplos
1 (1) (1) + 8 (1) (2i) + 28 (1) (4) (- 1) + 56 (1) (8) (- i) + 70 (1) (16) (1) + 56 (1) (32) (i) + 28 (1) (64) (- 1) + 8 (1) (128) (- i) + 1 (1) (256) (1)
Combina los términos semejantes y simplificar.
1 + 16i - 112 - 448i + 1120 + 1,792i - 1792 - 1,024i + 256
= -527 + 336i