Integrar las funciones donde el denominador contiene factores cuadráticos irreducibles

A veces no se puede factorizar un denominador todo el camino a factores lineales debido a que algunas ecuaciones cuadráticas son irreducibles - al igual que los números primos, no pueden tenerse en cuenta.

Comprobar el discriminante. Puede comprobar fácilmente si un cuadrática (hacha² + bx + c) Es reducible o no comprobando su discriminante, segundo² - 4C.A. Si el discriminante es negativo, la ecuación cuadrática es irreductible. Si el discriminante es un cuadrado perfecto como 0, 1, 4, 9, 16, 25, etc., la ecuación cuadrática puede ser un factor en factores como la que estamos acostumbrados a ver como (2x - 5) (x + 5). La última posibilidad es que el discriminante es igual a un número positivo no cuadrado, al igual que con la ecuación cuadrática x² + 10x + 1, por ejemplo, que tiene un discriminante de 96. En ese caso, la ecuación cuadrática puede ser un factor, pero se obtiene factores feas que implican raíces cuadradas. Afortunadamente, estos problemas son poco frecuentes.

Utilizando la técnica de fracciones parciales con cuadráticas irreducibles es un poco diferente. Aquí hay un problema: Integrar

1. Factorizar el denominador.

   ¡Ya está hecho! Tenga en cuenta que x² + 4 es irreductible porque su discriminante es negativo.

2. Romper la fracción en una suma de “fracciones parciales.”

   Si usted tiene un factor cuadrático irreducible (como el x² + 4), el numerador de la fracción parcial necesita dos incógnitas de capital letras en lugar de sólo uno. Que se escriben en la forma de Px + Q.

   

3. Multiplicar ambos lados de esta ecuación por la izquierda; denominador lado.

   

4. Tome las raíces de los factores lineales y enchufarlos - uno a la vez - en x en la ecuación de la Etapa 3, y luego resolver.

   Si x = 0, Si x = 1,

   -4 = -4UN10 = 5segundo

   UN = 1segundo = 2

   No se puede resolver todas las incógnitas mediante la conexión de las raíces de los factores lineales, por lo que tiene más trabajo que hacer.

5. Enchufe en la ecuación Paso 3 los valores conocidos de UN y segundo y cualquiera de los dos valores para x no se utiliza en el paso 4 (números bajos hacen que la aritmética más fácil) para obtener un sistema de dos ecuaciones en do y re.

   Video: Integración por Fracciones Parciales Caso 3 Factores Cuadráticos Irreducibles Distintos

   

6. Resuelve el sistema: 1 = -C + D y 7 = 2C + D.

   Usted debe conseguir C = 2 y re = 3.

7. Dividir la integral original y de integrar.

   Video: INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES - Ejercicio 1

   Utilizando los valores obtenidos en los pasos 4 y 6, UN = 1, segundo = 2, do = 2, y re = 3, y la ecuación de la Etapa 2, se puede dividir la integral original en tres piezas:

   

   Y con álgebra simple, se puede dividir el tercer integrante a la derecha en dos partes, dando lugar a la descomposición en fracciones parciales definitiva:

   

   Las dos primeras integrales son fáciles. Para la tercera, se utiliza la sustitución por

   

   La cuarta se hace con la regla de arco tangente, que debe memorizar: