La creación de fracciones parciales cuando se tiene factores lineales distintos
Video: Descomposición en Fracciones parciales Factores lineales no repetidos ejemplo 3 método I
Su primer paso en cualquier problema que implica fracciones parciales es reconocer cuyo caso se está tratando con para que pueda resolver el problema. El caso más simple en el que las fracciones parciales son útiles es cuando el denominador es el producto de distinto factores lineales - es decir, los factores lineales que no se repite.
Por ejemplo, puede cambiar esto:
Video: Fracciones parciales: factores lineales distintos
a esto:
Tenga en cuenta que para cada factor lineal distinta en el denominador, es necesario agregar una fracción parcial de la siguiente forma:
Video: Integración por Fracciones Parciales (Factores Lineales Diferentes 1)
Por ejemplo, suponga que desea integrar la siguiente expresión racional:
El denominador es el producto de tres factores lineales distintas - x, (x + 2), y (x - 5) - por lo que es igual a la suma de tres fracciones con estos factores como denominadores:
El número de factores lineales distintos en el denominador de la expresión original determina el número de fracciones parciales. En este ejemplo, la presencia de tres factores en el denominador de la expresión original produce tres fracciones parciales.
Tienes dos maneras de encontrar las incógnitas en una suma de fracciones parciales. La forma más fácil y rápida es mediante el uso de las raíces de los polinomios. Desafortunadamente, este método no siempre encuentran todas las incógnitas en un problema, a pesar de que a menudo se encuentra a algunos de ellos. La segunda manera es la creación de un sistema de ecuaciones.
Cuando una suma de fracciones parciales tiene factores lineales distintos, se pueden utilizar las raíces de estos factores lineales para encontrar los valores de las incógnitas:
Para encontrar los valores de las incógnitas UN, SEGUNDO, y DO, primero conseguir un denominador común en el lado derecho de esta ecuación (el mismo denominador que está en el lado izquierdo):
Ahora multiplicar ambos lados por este denominador:
1 = UN(x + 2) (x - 5) + Bx(x - 5) + cx(x + 2)
Para encontrar los valores de UN, SEGUNDO, y DO, sustituir las raíces de los tres factores (0, -2, y 5):
Enchufar estos valores en la ecuación original que da:
Esta expresión es equivalente a lo que se inició con, pero es mucho más fácil de integrar. Para ello, utilice la regla de la suma para dividirla en tres integrales, la regla múltiplo constante para mover coeficientes fraccionarios fuera de cada sustitución integral y variable para hacer la integración. Aquí está la respuesta para que pueda probarlo:
Esta respuesta utiliza K más bien que do para representar la constante de integración para evitar la confusión, debido a que ya se utiliza do en las fracciones parciales anteriores.
Cuando se empieza con un factor lineal distinta, usando fracciones parciales le deja con una integral de la forma siguiente:
Video: Fracciones parciales: Caso # 1 | Factores Lineales no Repetidos
Integrar mediante el uso de la sustitución de variables u = hacha + segundo así que eso du = a dx y
Esta sustitución da como resultado la siguiente integral:
Aquí están algunos ejemplos:
