La creación de fracciones parciales cuando tiene factores distintos
Su primer paso en cualquier problema que implica fracciones parciales es reconocer cuyo caso se está tratando con para que pueda resolver el problema. Uno de los casos donde se puede utilizar fracciones parciales es cuando el denominador es el producto de distinto factores de segundo grado - es decir, los factores de segundo grado que se no se repite.
Para cada factor cuadrático distinto en el denominador, añadir una fracción parcial de la siguiente forma:
Por ejemplo, suponga que desea integrar esta función:
El primer factor en el denominador es lineal, pero el segundo es cuadrática y no se puede descomponer a factores lineales. Así configurar sus fracciones parciales de la siguiente manera:
El número de factores distintos de segundo grado en el denominador indica la cantidad de fracciones parciales que se obtiene. Así, en este ejemplo, dos factores en el denominador producen dos fracciones parciales.
Trabajando de forma sistemática con un sistema de ecuaciones
La creación de un sistema de ecuaciones es un método alternativo para encontrar el valor de incógnitas cuando se está trabajando con fracciones parciales. No es tan simple como conectar las raíces de factores, pero es su única opción cuando la raíz de un factor cuadrático es imaginario.
Video: Descomposición en fracciones parciales Factores lineales repetidos ejemplo 1 de 3
Aquí hay un problema para ilustrar este método:
Para empezar, ver hasta dónde se puede obtener mediante la conexión de las raíces de ecuaciones. Comience por conseguir un denominador común en el lado derecho de la ecuación:
Ahora multiplique toda la ecuación por el denominador:
5x - 6 = (UN) (x2 + 3) + (Bx + do) (x - 2)
La raíz de x - 2 es 2, por lo que vamos x = 2 y ver lo que se obtiene:
Ahora se puede sustituir
Desafortunadamente, x2 + 3 no tiene raíz en los números reales, por lo que necesita un enfoque diferente. En primer lugar, deshacerse de los paréntesis en el lado derecho de la ecuación:
A continuación, combinar términos similares (utilizando x como la variable por el cual se juzga similitud). Esto es sólo el álgebra:
Debido a esta ecuación funciona para todas valores de x, ahora tomar lo que parece ser un paso cuestionable, romper esta ecuación en tres ecuaciones independientes de la siguiente manera:
En este punto, un poco de álgebra te dice que
Por lo que puede sustituir los valores de UN, SEGUNDO, y do de nuevo en las fracciones parciales:
Se puede simplificar la segunda fracción un poco:
factores cuadrática de la forma (hacha2 + do)
Cuando se empieza con un factor cuadrática de la forma (hacha2 + do), Usando fracciones parciales resulta en los dos integrales siguientes:
Integrar el primero mediante el uso de la sustitución de variables u = hacha2 + do así que eso du = 2hacha dx y
Esta sustitución da como resultado la siguiente integral:
Aquí hay unos ejemplos:
Para evaluar la segunda integral, utilizar la fórmula siguiente:
factores cuadrática de la forma (hacha2 + bx + do)
La mayoría de los profesores de matemáticas tienen al menos una pizca de piedad en sus corazones, para que no tienden a darle problemas que incluyen este caso más difícil. Cuando se empieza con un factor cuadrática de la forma (hacha2 + bx + do), Usando fracciones parciales se traduce en la siguiente integral:
Está bien, es demasiadas letras y números no lo suficiente. He aquí un ejemplo:
Se trata de la integrante más peludo alguna vez vas a ver en el otro extremo de una fracción parcial. Para evaluarlo, desea utilizar la sustitución de variables u = x2 + 6x + 13, de manera que du = (2x + 6) dx. Si el numerador eran 2x + 6, estaría en gran forma. Así que hay que ajustar el numerador un poco. En primer lugar se multiplica por 2 y dividir toda la integral por 2:
Video: Fracciones parciales: factores lineales método 2
Como multiplicaste toda la integral por 1, se ha producido ningún cambio neto. Ahora agregue 6 y -6 al numerador:
Usted ha añadido 0 a la integral, que no cambia su valor. En este punto, se puede dividir la integral en dos:
En este punto, puede utilizar la sustitución de variables para cambiar el primer integrante de la siguiente manera:
Para resolver la segunda integral, completar el cuadrado del denominador: Se divide el segundo plazo (6) por 2 y la plaza de ella, y luego representan la do plazo (13) como la suma de esto y lo que quede:
Ahora dividir el denominador en dos cuadrados:
Para evaluar esta integral, fórmula uso se muestra en la sección anterior:
Así que aquí está la respuesta final de la segunda integral:
Por lo tanto, reconstruir la respuesta completa de la siguiente manera:
