Resolver ecuaciones diferenciales usando un factor de integración
Un método inteligente para la solución de ecuaciones diferenciales (DES) está en la forma de una ecuación lineal de primer orden. Este método implica la multiplicación de toda la ecuación por una la integración de los factores. Una ecuación lineal de primer orden tiene la forma siguiente:
Para utilizar este método, siga estos pasos:
Se calcula el factor de integración.
Multiplicar el DE por este factor integrador.
Repita el lado izquierdo de la ecuación como un único derivado.
Integrar ambos lados de la ecuación y resolver para y.
Para ayudar a entender cómo multiplicar por un factor de integración obras, la siguiente ecuación está configurado para resolver prácticamente en sí - es decir, si usted sabe qué hacer:
Tenga en cuenta que este es un lineal de primer grado DE, con
y segundo(x) = 0. Ahora ajustar esta ecuación al multiplicar cada término por x2 (Ver por qué en breve):
A continuación, se utiliza el álgebra para hacer un poco de simplificación y reordenando:
Aquí es donde usted aparece a llegar a ser extremadamente afortunados: Los dos términos en el lado izquierdo de la ecuación acaba de pasar a ser el resultado de la aplicación de la regla del producto de la expresión y · x2:
Observe que el lado derecho de esta ecuación es exactamente el mismo que el lado izquierdo de la ecuación anterior. Para que pueda tomar la siguiente sustitución:
Ahora, para deshacer el derivado en el lado izquierdo, a integrar ambos lados, y luego a resolver para y:
Para comprobar esta solución, se conecta este valor de y de nuevo en la ecuación original:
El ejemplo anterior funciona porque has encontrado una manera de multiplicar toda la ecuación por un factor que hizo que el lado izquierdo de la ecuación se parece a un derivado resultante de la regla del producto. Aunque esto parecía suerte, si sabes lo que se multiplique por, cada lineal de primer orden DE puede ser transformada de esta manera. Recordemos que la forma de un lineal de primer orden DE es la siguiente:
El truco consiste en multiplicar el DE por una factor de integración Residencia en un(x). Aquí está el factor de integración:
Por ejemplo, en el problema anterior, se sabe que
Así que aquí es cómo encontrar el factor de integración:
Recuerde que 2 ln x = ln x2, asi que:
Como se puede ver, el factor de integración x2 es el valor exacto que se multiplica por resolver el problema. Para ver cómo funciona este proceso ahora que sabes el truco, aquí hay otro documento DE resolver:
Video: 50. Factor integrante de la forma x^m y^n para ecuaciones diferenciales (Ejercicio resuelto)
En este caso, un(x) = 3, por lo que calcular el factor de la integración de la manera siguiente:
Ahora multiplica cada término de la ecuación por este factor:
Si lo desea, utilice el álgebra para simplificar el lado derecho y el lado izquierdo reorganizar:
Video: ECUACION DIFERENCIAL CON FACTOR INTEGRANTE (XY)
Ahora se puede ver cómo el lado izquierdo de esta ecuación se parece a la resultado de la regla del producto aplicado para evaluar la siguiente derivado:
Debido a que el lado derecho de esta ecuación es la misma que el lado izquierdo de la ecuación anterior, se puede hacer la siguiente sustitución:
Observe que cambia el lado izquierdo de la ecuación usando la regla del producto en reversa. Es decir, se está expresando todo el lado izquierdo como un único derivado. Ahora se puede integrar ambos lados para cancelar este derivado:
Ahora para resolver y y simplificar:
Para comprobar esta respuesta, sustituir este valor de y de nuevo en el documento DE originales:
Como por arte de magia, esta respuesta comprueba hacia fuera, por lo que la solución es válida.