Cómo resolver sistemas lineales que tienen más de dos ecuaciones

Cuando su instructor de pre-cálculo le pide que resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales, estas ecuaciones implicarán más de dos ecuaciones que van junto con más de dos variables. Puede escribir estos sistemas más grandes en la forma Ax + segundoy + doz + . . . = K donde todos los coeficientes (K) y son constantes. Estos sistemas lineales pueden tener muchas variables, y se puede resolver esos sistemas, siempre y cuando usted tiene una ecuación única por variable. En otras palabras, tres variables necesitan tres ecuaciones para hallar una solución única, cuatro variables necesitará cuatro ecuaciones, y diez variables tendría que tener diez ecuaciones, y así sucesivamente.

Para estos tipos de sistemas no lineales, las soluciones se pueden encontrar son muy variables:

• Usted puede encontrar ninguna solución.

• Es posible encontrar una solución única.

• Es posible que tenga un número infinito de soluciones.

El número de soluciones que encuentras depende de cómo las ecuaciones interactúan entre sí. Dado que los sistemas lineales de tres variables describen las ecuaciones de los planos, no líneas (como ecuaciones de dos variables hacen), la solución del sistema depende de cómo los planos se encuentran en el espacio tridimensional con relación a otra. Por desgracia, al igual que en los sistemas de ecuaciones con dos variables, no se puede decir cuántas soluciones tiene el sistema sin hacer el problema. Tratar a cada problema como si tiene una solución, y si no es así, que o bien llegar a una declaración de que no es verdad (no hay soluciones) o es siempre verdad (lo que significa que el sistema tiene infinitas soluciones).

Por lo general, debe utilizar el método de eliminación más de una vez para resolver sistemas con más de dos variables y dos ecuaciones.

Video: Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas

Por ejemplo, supongamos que un problema le pide que resolver el siguiente sistema:

Para encontrar la solución (s), siga estos pasos:

1. Mira los coeficientes de todas las variables y decidir qué variable es más fácil de eliminar.

   Con la eliminación, usted quiere encontrar el mínimo común múltiplo (mcm) de los coeficientes de una de las variables, por lo que ir con el que es el más fácil. En este caso, se debe eliminar la x-variable.

2. Es apartado dos de las ecuaciones y eliminar una variable.

   En cuanto a las dos primeras ecuaciones, hay que multiplicar la parte superior por -2 y agregarlo a la segunda ecuación. Al hacer esto, se obtiene la siguiente ecuación:

   

3. Puesto aparte otras dos ecuaciones y eliminar la misma variable.

   La primera y la tercera ecuaciones permiten eliminar fácilmente x de nuevo. Multiplicar la ecuación superior en un 6 y añadirlo a la tercera ecuación para obtener la siguiente ecuación:

   

4. Repita el proceso de eliminación con sus dos nuevas ecuaciones.

   Ahora tiene estas dos ecuaciones con dos variables:

   

   Es necesario eliminar una de estas variables. En este ejemplo se elimina la y-variable de multiplicando la ecuación superior por 4 y la parte inferior por 7 y luego la adición de las ecuaciones. Esto es lo que le da ese paso:

   

5. Resolver la ecuación final para la variable que queda.

   Si 89z = -356, entonces z = -4.

6. Sustituir el valor de la variable resuelto en una de las ecuaciones que tiene dos variables para resolver por otro.

   Este ejemplo utiliza la ecuación -7y - 11z = 23. Sustituyendo, tiene -7y - 11 (-4) = 23, lo que simplifica a -7y + 44 = 23. Ahora terminar el trabajo: -7y = -21, y = 3.

7. Sustituir los dos valores que tiene ahora en una de las ecuaciones originales para resolver la última variable.

   Este ejemplo utiliza la primera ecuación en el sistema original, que ahora se convierte x + 2 (3) + 3 (-4) = -7. Simplifica para obtener su respuesta final:

Video: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2×2 POR MÉTODO GRÁFICO

1. x + 6 - 12 = -7

2. x - 6 = -7

   Video: Sistema de Ecuaciones de 2x2 con Conjunto Infinito de Soluciones

3. x = -1

Las soluciones a esta ecuación son x = -1, y = 3, y z = -4.

Este proceso se llama sustitución hacia atrás debido a que, literalmente, para resolver una variable y luego su forma de trabajo hacia atrás para despejar los otros. En este último ejemplo, se pasó de la solución de una variable en una ecuación de dos variables en dos ecuaciones para el último paso con tres variables en tres ecuaciones. Siempre se mueven desde el más sencillo al más complicado.