Describir los circuitos de segundo orden con las ecuaciones diferenciales de segundo orden

Si puede utilizar una ecuación diferencial de segundo orden para describir el circuito que está viendo, entonces usted está tratando con un circuito de segundo orden. Circuitos que incluyen un inductor, un condensador, y la resistencia conectada en serie o en paralelo son circuitos de segundo orden. Aquí son circuitos de segundo orden accionados por una fuente de entrada, o la función de forzar.

Video: APLICACION DE ECUIACIONES DIFERENCIALES A CIRCUITOS SERIE RLC

Obtención de una solución única a una ecuación diferencial de segundo orden requiere el conocimiento de los estados iniciales del circuito. Para un circuito de segundo orden, lo que necesita saber la tensión del condensador inicial y la corriente inicial inductor. Conociendo estos estados en la t = 0 le proporciona una solución única para todos los tiempos después de la hora t = 0.

Utilice estos pasos en la resolución de una ecuación diferencial de segundo orden para un circuito de segundo orden:

Encuentra la respuesta de entrada cero mediante el establecimiento de la fuente de entrada a 0, tal que la salida se debe sólo a las condiciones iniciales.
Encuentra la respuesta de estado cero mediante el establecimiento de las condiciones iniciales igual a 0, tal que la salida se debe sólo a la señal de entrada.
Condiciones iniciales cero significa que tiene 0 tensión del condensador inicial y 0 corriente inicial inductor.
La respuesta de estado cero se requiere para encontrar las soluciones homogéneas y particulares:
solución homogénea: Cuando no hay señal de entrada o forzar a la función - es decir, cuando v_T(t) = 0 o yo_norte(t) = 0 - usted tiene la solución homogénea.
Solución particular: Cuando se tiene una entrada diferente de cero, la solución sigue la forma de la señal de entrada, que le da la solución particular. Por ejemplo, si su entrada es una constante, entonces su solución en particular es también una constante. Del mismo modo, si usted tiene un seno o coseno función como entrada, la salida es una combinación de funciones seno y coseno.
Sume las respuestas cero de entrada y de estado cero para obtener la respuesta total.
Debido a que usted está tratando con circuitos lineales, que desea usar la superposición para encontrar la respuesta total.

Para encontrar la respuesta total para una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes, primero debe encontrar la solución homogénea mediante el uso de una ecuación algebraica característica y asumir las soluciones son funciones exponenciales. Las raíces de la ecuación característica le dan las constantes que se encuentran en el exponente de la función exponencial.

Adivinar una solución primaria: La función exponencial natural,

Esta es sólo una aproximación a la solución de los circuitos de segundo orden. La buena noticia es que convierte un problema que involucra una ecuación diferencial a uno que utiliza sólo el álgebra.

Considere la siguiente ecuación diferencial como un ejemplo numérico con cero función forzada v_T(t) = 0:

La solución a esta ecuación diferencial se llama la solución homogénea Vermont). Un enfoque clásico implica dar su mejor tiro en adivinar la solución. Tratar v (t) = e^kt. La función exponencial trabaja para una ecuación de primer orden, por lo que debe trabajar para una ecuación de segundo orden, también.

Cuando se toma la derivada de la exponencial naturales mi^kt, se obtiene la misma cosa multiplicada por una constante k. Se ve cómo la función exponencial es su verdadero amigo en la solución de ecuaciones diferenciales de este tipo.

A partir del cálculo de álgebra: Usando la ecuación característica

Para resolver una ecuación diferencial homogénea, puede convertir la ecuación diferencial en una ecuación característica, que a resolver utilizando el álgebra. Esto se hace mediante la sustitución de su conjetura v (t) = e^kt de antes en la ecuación diferencial homogénea:

factorizar mi^kt que conduce a una ecuación característica:

(k² + 5k +6)mi^kt = 0

El coeficiente de mi^k^t debe ser 0, por lo que puede resolver k como sigue:

k² + 5k + 6 = 0

k = -2. -3

Ajuste de la ecuación algebraica a 0 le da una ecuación característica. Las raíces constantes -2 y -3 determinan las características de la solución Vermont).

A partir de estas raíces, se obtiene una solución homogénea que es una combinación de las soluciones mi^-2T y mi^-3T:

Video: Procedimiento para solucionar un circuito de segundo orden

v (t) = c₁mi^-2t + do₂mi^-3t
Video: Ecuación diferencial de segundo orden con parámetros como coeficientes

las constantes do₁ y do₂ están determinados por las condiciones iniciales cuando t = 0.