¿Cómo encontrar los valores propios y los vectores propios degenerados para hamiltonianas
El uso de la física cuántica, se puede determinar el F valores propios y los vectores propios coincidencia para sistemas en los que las energías son degenerados. Echar un vistazo a este hamiltoniano no perturbado:
En otras palabras, varios estados tienen la misma energía. Dicen que los estados de energía son F-doblar degenerado, como este:
¿Cómo afecta esto a la imagen perturbación? El hamiltoniano completa, H, se compone de la original, hamiltoniano no perturbado, H0, y el hamiltoniano de perturbación,
En la aproximación de orden cero, se puede escribir la función propia
como una combinación de los estados degenerados
Cabe destacar que en lo que sigue, se asume que
Si metro no es igual a norte. Además, se asume que la
Video: Valores propios de una matriz
están normalizados - es decir,
El tapar esta ecuación de orden cero en la ecuación de Hamilton completa, se obtiene
Ahora multiplicando la ecuación por
te dio
Usando el hecho de que
Si metro no es igual a norte te dio
Los físicos suelen escribir la ecuación como
dónde
Y la gente también escriben esa ecuación como
donde E(1)norte E =norte - E(0)norte. Eso es un sistema de ecuaciones lineales, y la solución existe sólo cuando el determinante a esta matriz es no nulo:
Video: Demostración: fórmula para valores propios
El determinante de esta matriz es una Fecuación de grado º en E(1)norte, y tiene F diferentes raíces,
Aquellos F diferentes raíces son las correcciones de primer orden para el hamiltoniano. Por lo general, esas raíces son diferentes debido a la perturbación aplicada. En otras palabras, la perturbación normalmente se deshace de la degeneración.
Así que aquí está la forma de encontrar los valores propios a la primera orden - se configura una F-por-F matriz del hamiltoniano perturbación,
Entonces diagonalizar esta matriz y determinar la F valores propios
y los vectores propios a juego:
Luego se llega a los valores propios de la energía de primer orden de esta manera:
Y los vectores propios son
