Integrar una función utilizando el caso sine
Cuando la función está integrando incluye un término de la forma (un2 - bx2)norte, llamar su triángulo geodésico para la sustitución caso sinusoidal. Por ejemplo, supongamos que se desea evaluar la siguiente integral:
Este es un caso sinusoidal, debido a una constante menos un múltiplo de x2 está siendo elevado a una potencia
Video: INTEGRALES DE FUNCIONES IRRACIONALES-PRIMER CASO-CONCEPTO
Así es como se utiliza la sustitución trigonométrica para manejar el trabajo:
Dibuje el triángulo sustitución trigonométrica para el caso correcto.
Esta figura muestra cómo rellenar el triángulo para el caso sinusoidal. Tenga en cuenta que el radical va en la adyacente lado del triángulo. Entonces, para llenar los otros dos lados del triángulo, se utilizan las raíces cuadradas de los dos términos dentro del radical - es decir, 2 y x. Lugar 2 de la hipotenusa y x en el lado opuesto.
Usted puede comprobar para asegurarse de que esta colocación es correcta utilizando el teorema de Pitágoras:
Identificar las piezas separadas de la integral (incluyendo dx) Que es necesario expresar en términos de theta.
En este caso, la función contiene dos piezas separadas que contienen x:
Expresar estas piezas en términos de funciones trigonométricas de theta.
Este es el verdadero trabajo de trig sustitución, pero cuando el triángulo está configurado correctamente, este trabajo se hace mucho más fácil. En el caso de seno, todas funciones trigonométricas deben ser senos y cosenos.
Para representar la porción radical como una función trigonométrica de theta, primera construcción de una fracción usando el radical
como numerador y la constante de 2 como denominador. A continuación, establezca esta fracción igual a la función trigonométrica apropiado:
Debido a que el numerador es el lado adyacente del triángulo y el denominador es la hipotenusa
esta fracción es igual a
Ahora un poco de álgebra obtiene el radical sola en un lado de la ecuación:
Luego, si desea expresar dx como una función trigonométrica de theta. Para ello, construir otra fracción con la variable x en el numerador y la constante de 2 en el denominador. A continuación, establezca esta fracción igual a la función trigonométrica correcta:
Esta vez, el numerador es el lado opuesto del triángulo y el denominador es la hipotenusa
por lo que esta fracción es igual a
Ahora para resolver x y después se diferencian:
Reescribir la integral en términos de theta y evaluarlo:
Para cambiar estos dos términos en theta x términos, la reutilización de la siguiente ecuación:
Así que aquí hay una sustitución que le da una respuesta:
Esta respuesta es perfectamente válida para que, técnicamente hablando, se puede parar aquí. Sin embargo, algunos profesores fruncir el ceño a la anidación de trig y funciones trigonométricas inversas, por lo que van a prefieren una versión simplificada de
Para encontrar esto, comenzar aplicando la fórmula seno de doble ángulo para
Ahora usa tu triángulo sustitución trigonométrica para sustituir los valores de
en términos de x:
Para terminar, sustituir esta expresión para esa problemática segundo término para obtener la respuesta final en una forma simplificada:
