Integrar una función utilizando el caso secante
Cuando la función que se está integrando incluye un término de la forma (bx2 - un2)norte, llamar su triángulo geodésico para la sustitución caso secante. Por ejemplo, suponga que desea evaluar esta integral:
Este es un caso secante, debido a un múltiplo de x2 menos una constante está siendo elevado a una potencia
Integrar usando sustitución trig como sigue:
Dibuje el triángulo sustitución trigonométrica para el caso de la secante.
La figura muestra cómo rellenar el triángulo para el caso de la secante. Tenga en cuenta que el radical va en la opuesto lado del triángulo. Entonces, para llenar los otros dos lados del triángulo, utilice las raíces cuadradas de los dos términos dentro del radical - es decir, 1 y 4x. Coloque la constante 1 en el lado adyacente y la variable 4x de la hipotenusa.
Usted puede comprobar para asegurarse de que esta colocación es correcta utilizando el teorema de Pitágoras:
Identificar las piezas separadas de la integral (incluyendo dx) Que es necesario expresar en términos de theta.
En este caso, la función contiene dos piezas separadas que contienen x:
Expresar estas piezas en términos de funciones trigonométricas de theta.
En el caso de la secante, todas funciones trigonométricas deben estar representados inicialmente como tangentes y secantes.
Para representar la porción radical como una función trigonométrica de theta, construir una fracción utilizando el radical
como numerador, y la constante 1 como denominador. A continuación, establezca esta fracción igual a la función trigonométrica apropiado:
Observe que esta fracción es el lado opuesto del triángulo sobre el lado adyacente
por lo que es igual
Simplificando un poco le da esta ecuación:
A continuación, expresar dx como una función trigonométrica de theta. Para ello, construir otra fracción con la variable x en el numerador y la constante 1 en el denominador:
Esta vez, la fracción es la hipotenusa sobre el lado adyacente del triángulo
lo que equivale
Ahora para resolver x y diferenciar a encontrar dx:
Expresar la integral en términos de theta y evaluarlo:
Ahora usar la fórmula para la integral de la función secante:
Cambiar los dos términos theta de nuevo en x condiciones:
En este caso, usted no tiene que encontrar el valor de theta porque ya conoce los valores de
en términos de x desde el paso 3. Así sustituto estos dos valores para obtener su respuesta final:
