Integrar una función utilizando el caso tangente
Cuando la función está integrando incluye un término de la forma (un2 + x2)norte, llamar su sustitución triángulo trigonometría para el caso tangente. Por ejemplo, supongamos que se desea evaluar la siguiente integral:
Dibuje el triángulo sustitución trigonométrica para el caso tangente.
La figura muestra cómo rellenar el triángulo para el caso tangente. Tenga en cuenta que el radical de lo que hay dentro de los paréntesis va en la hipotenusa del triángulo. Entonces, para llenar los otros dos lados del triángulo, utilice las raíces cuadradas de los dos términos dentro del radical - es decir, 2 y 3x. Coloque el término constante 2 en el lado adyacente y el término variable 3x en el lado opuesto.
Video: Integral de tangente hiperbólica
Con el caso de la tangente, asegúrese de no mezclar su colocación de la variable y el constante.
Identificar las piezas separadas de la integral (incluyendo dx) Que es necesario expresar en términos de theta.
En este caso, la función contiene dos piezas separadas que contienen x:
Expresar estas piezas en términos de funciones trigonométricas de theta.
En el caso tangente, todas funciones trigonométricas deben expresarse inicialmente como tangentes y secantes.
Para representar la parte racional como una función trigonométrica de theta, construir una fracción usando el radical
como numerador y la constante de 2 como denominador. A continuación, establezca esta fracción igual a la función trigonométrica apropiado:
Debido a que esta fracción es la hipotenusa del triángulo sobre el lado adyacente
que es igual a
Ahora usar álgebra y trig identidades de ajustar esta ecuación en forma:
A continuación, expresar dx como una función trigonométrica de theta. Para ello, construir otra fracción con la variable 3x en el numerador y la constante de 2 en el denominador:
Esta vez, la fracción es el lado opuesto del triángulo sobre el lado adyacente
Video: 27V. Integral de tangente de x, mediante cambio de variable
por lo que es igual
Ahora para resolver x y después se diferencian:
Expresar la integral en términos de theta y evaluarlo:
Ahora cierta cancelación y reorganización convierte a esta desagradable-mirando integral en algo manejable:
En este punto, se puede evaluar esta integral:
Así que aquí está la sustitución:
Y aquí está la primitiva:
Cambiar los dos términos theta de nuevo en x condiciones:
Es necesario encontrar una manera de expresar theta en términos de x. Esta es la forma más simple:
Así que aquí hay una sustitución que le da una respuesta:
Esta respuesta es válida, pero la mayoría de los profesores no será loco por ese feo segundo término, con el seno de un arco tangente. Para simplificarlo, aplicar la fórmula seno de doble ángulo para
Ahora usa tu triángulo sustitución trigonométrica para sustituir los valores de
en términos de x:
Por último, utilizar este resultado para expresar la respuesta en términos de x:
