Cómo evaluar una integral impropia que es infinita verticalmente
integrales impropias son útiles para resolver una variedad de problemas. UN verticalmente infinita integral impropia contiene al menos una asíntota vertical. Verticalmente integrales impropias infinitos son más difíciles de reconocer que los que son horizontalmente infinita. Una integral de este tipo contiene al menos una asíntota vertical en la zona que se está midiendo. (UN asíntota vertical es un valor de x dónde F(x) Es igual a cualquiera de los dos o -). La asíntota puede ser un límite de integración o puede caer en algún lugar entre los dos límites de integración.
No trate de deslizarse por y evaluar integrales impropias como integrales adecuados. En la mayoría de los casos, obtendrá la respuesta equivocada!
Hay dos casos en los que usted necesita para manejar integrales impropias verticalmente infinitas.
Manipulación límites asintóticos de la integración
Supongamos que se desea evaluar la siguiente integral:
Video: Integral impropia con dos límites infinitos
A primera vista, puede tener la tentación de evaluar esto como una integral adecuada. Sin embargo, esta función tiene una asíntota en x = 0. La presencia de una asíntota en uno de los límites de integración le obliga a evaluar éste como una integral impropia.
Expresar la integral como el límite de una integral adecuada:
Nótese que en este límite, do tendiendo a 0 por la derecha - es decir, desde el lado positivo - porque esta es la dirección de aproximación desde el interior de los límites de integración. (Eso es lo que significa el pequeño signo más en el límite).
Evaluar la integral:
Esta integral se evalúa fácilmente como
Video: Integrales impropias de primera especie 07 UNIVERSIDAD unicoos
usando la regla de la potencia:
Evaluar el límite:
En este punto, la sustitución directa le proporciona su respuesta final:
= 2
Construyendo integrandos juntos discontinuos
Si una función es continua en un intervalo, también es integrable en dicho intervalo. Algunas integrales que son verticalmente infinita tienen asíntotas no en los bordes, pero en algún lugar en el medio. El resultado es una integrando discontinua - es decir, una función con una discontinuidad en el intervalo que usted está tratando de integrar.
integrandos discontinuos son las integrales impropias más difíciles de detectar - que realmente necesita saber cómo la gráfica de la función que se está integrando comporta.
Para evaluar una integral impropia de este tipo, separarla en cada asíntota en dos o más integrales. A continuación, evaluar cada una de las integrales resultantes como una integral impropia.
Por ejemplo, supongamos que se desea evaluar la siguiente integral:
Debido a la gráfica de sec x contiene una asíntota en
la gráfica de sec2 x tiene una asíntota en el mismo lugar. Por ejemplo, un gráfico de la integral impropia
en muestra en esta figura.
Para evaluar esta integral, dividirlo en dos integrales en el valor de x donde se encuentra la asíntota:
Ahora evaluar la suma de las dos integrales impropias resultantes.
Usted puede ahorrar mucho trabajo al notar cuando dos regiones son simétricas. En este caso, la asíntota en
divide el área sombreada en dos regiones simétricas. Para que pueda encontrar un integrante y luego doblarla para obtener su respuesta:
Ahora evaluar esta integral:
Expresar la integral como el límite de una integral adecuada:
En este caso, la asíntota vertical está en el límite superior de integración, por lo do enfoques
desde la izquierda - es decir, desde el interior del intervalo en el que está midiendo el área.
Evaluar la integral:
Evaluar el límite:
Tenga en cuenta que
no está definido, debido a que la función tan x tiene una asíntota en
por lo que no existe el límite (DNE). Por lo tanto, la integral que se está tratando de evaluar también no existe porque la zona que representa es infinito.