Usando el teorema del valor medio para integrales

los Teorema del valor medio para integrales garantiza que para cada integral definida, existe un rectángulo con la misma área y la anchura. Por otra parte, si superponer este rectángulo en la integral definida, la parte superior del rectángulo se cruza con la función. Este rectángulo, por cierto, se llama del valor medio rectángulo para que integral definida. Su existencia le permite calcular el valor promedio de la integral definida.

se jacta de cálculo dos Teoremas del valor medio - una para derivados y uno para integrales. En este caso, que se verá en el teorema del valor medio para integrales. Puede encontrar información sobre el teorema del valor medio para los derivados de Cálculo para los maniquíes por Mark Ryan (Wiley).

La mejor manera de ver cómo funciona este teorema es con un ejemplo visual:

El primer gráfico de la figura muestra la región descrita por la integral definida

Video: Teorema del Valor Medio - Ejercicio Resuelto - Materapidas - Calculo Integral

Esta región, obviamente, tiene una anchura de 1, y se puede evaluar fácilmente para demostrar que su área es

El segundo gráfico de la figura muestra un rectángulo con una anchura de 1 y un área de

No debería ser ninguna sorpresa que la altura de este rectángulo es también

por lo que la parte superior de este rectángulo se cruza con la función original.

El hecho de que la parte superior del rectángulo del valor medio se cruza con la función es sobre todo una cuestión de sentido común. Después de todo, la altura de este rectángulo representa el valor medio de que la función alcanza durante un intervalo dado. Este valor debe caer en algún lugar entre los valores máximo y mínimo de la función en ese intervalo.

Aquí está la declaración formal del teorema del valor medio para integrales: Si F(x) Es una función continua en el intervalo cerrado [un, segundo], Entonces existe un número do en ese intervalo tal que:

Esta ecuación puede parecer complicado, pero es básicamente una repetición de esta ecuación familiar para el área de un rectángulo:

Área = Altura · Ancho

En otras palabras, comenzar con una integral definida que expresa un área, y después dibujar un rectángulo de igual área con la misma anchura (segundo - un). La altura de ese rectángulo - F(do) - es tal que su borde superior se cruza con la función donde x = do.

El valor F(do) es el valor promedio de F(x) En el intervalo [un, segundo]. Se puede calcular que reordenando la ecuación indica en el teorema:

Por ejemplo, aquí es una figura que ilustra la integral definida

y su valor medio rectángulo.

Ahora, aquí es cómo se calcula el valor medio de la zona de sombra:

Video: TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA LAS INTEGRALES - CONCEPTO Y DEMOSTRACION

No es sorprendente que el valor medio de esta integral es de 30, un valor entre el mínimo de la función de 8 y su máximo de 64.