Cómo utilizar el método de los casquillos para medir el volumen de un sólido

los método de los casquillos le permite medir el volumen de un sólido midiendo el volumen de muchas superficies concéntricas del volumen, llamados “conchas”. Aunque el método de cáscara sólo funciona para sólidos con secciones transversales circulares, es ideal para los sólidos de revolución alrededor del y-eje, ya que no tiene que utilizar inversas de funciones.

Video: VOLUMEN DE UN SOLIDOS DE REVOLUCION-METODO DE LA CORTEZA CILINDRICA

Así es como funciona:

1. Encuentra una expresión que representa el área de una concha de azar del sólido en términos de x.

2. Utilizar esta expresión para construir una integral definida (en términos de dx) Que representa el volumen del sólido.

3. Evaluar esta integral.

Se puede utilizar una lata de sopa - o cualquier otra lata que tiene una etiqueta de papel sobre el mismo - como una ayuda visual útil para darle una idea de cómo funciona el método de los casquillos. Para empezar, ir a la despensa y obtener una lata de sopa.

Suponga que su lata de sopa es de tamaño industrial, con un radio de 3 pulgadas y una altura de 8 pulgadas. Se puede utilizar la fórmula para un cilindro de averiguar su volumen como sigue:

V = UN_segundo · marido = 3²π · 8 = 72π

También puede utilizar el método de la cáscara, que se muestra aquí.

Video: Solidos de Revolucion por Casquillos Parte 2

Para comprender el método de cáscara, cortar la etiqueta de papel de la lata verticalmente, y retirar cuidadosamente de la lata, como se muestra en la figura. (Mientras estás en ello, tome un momento para leer la etiqueta para que no se queda con “sopa de misterio.”)

Observe que la etiqueta es simplemente un rectángulo. Su lado más corto es de longitud igual a la altura de la lata (8 pulgadas) y su lado más largo es igual a la circunferencia (2π · 3 pulgadas = 6π pulgadas). Por lo que el área de este rectángulo es 48π pulgadas cuadradas.

Ahora aquí está el paso crucial: Imagine que toda la lata se compone de un número infinito de etiquetas envueltos concéntricamente alrededor de la otra, todo el camino hasta su núcleo. El área de cada uno de estos rectángulos es:

UN = 2π x · 8 = 16π x

La variable x en este caso es cualquier radio posible, de 0 (el radio del círculo en el centro de la lata) a 3 (el radio del círculo en el borde exterior). He aquí cómo se utiliza el método de los casquillos, paso a paso, para encontrar el volumen de la lata:

1. Encuentra una expresión que representa el área de una concha de azar de la lata (en términos de x):

   UN = 2π x · 8 = 16π x

2. Utilizar esta expresión para construir una integral definida (en términos de dx) Que representa el volumen de la lata.

   Recuerde que con el método de la cáscara, que está sumando todas las conchas del centro (donde el radio es 0) hasta el borde exterior (donde el radio es 3). Así que utilice estos números como los límites de integración:

   

3. Evaluar esta integral:

   

   Ahora evaluar esta expresión:

   = 8π (3)² - 0 = 72π

   El método shell verifica que el volumen de la lata es 72π pulgadas cúbicas.