¿Cómo encontrar el volumen de un sólido entre dos superficies de revolución
Si desea encontrar el volumen de un sólido que se encuentra entre dos superficies diferentes de la revolución, puede utilizar el método de carne máquina de cortar para hacer esto. los método de carne máquina de cortar funciona mejor con los sólidos que tienen secciones transversales similares. Este es el plan:
Encuentra una expresión que representa el área de una sección transversal al azar del sólido en términos de x.
Utilizar esta expresión para construir una integral definida (en términos de dx) Que representa el volumen del sólido.
Evaluar esta integral.
El truco es encontrar una manera de describir el área en forma de rosquilla de una sección transversal como la diferencia entre dos integrales: un integrante que describe toda la forma menos otra que describe el agujero.
Por ejemplo, suponga que desea encontrar el volumen del sólido que se muestra aquí.
Esto tiene un aspecto sólido algo así como un tazón volvió a su lado. El borde exterior es el sólido de revolución alrededor del x-eje para la función de
El borde interno es el sólido de revolución alrededor del x-eje para la función de
Aquí está la forma de resolver este problema:
Video: Volumen calculado con una Integral doble en Coordenadas Polares
Encuentra una expresión que representa el área de una sección transversal al azar del sólido.
Es decir, encontrar el área de un círculo con un radio de
y restar el área de un círculo con un radio de
Utilizar esta expresión para construir una integral definida que representa el volumen del sólido.
Los límites de integración son 0 y 4:
Video: VOLUMENES DE UN SOLIDO DE REVOLUCION CALCULO POR INTEGRALES
Resolver la integral:
Ahora evaluar esta expresión:
Aquí hay otro problema: Encuentre el volumen del sólido que se muestra aquí.
Este sólido cae entre la superficie de revolución y = ln x y la superficie de revolución
limitada hacia abajo por y = 0 y por encima de por y = 1.
La sección transversal de este sólido se muestra a la derecha; lado de la figura: un círculo con un agujero en el medio.
Nótese, sin embargo, que esta sección transversal es perpendicular a la y-eje. Para utilizar el método de carne máquina de cortar, la sección transversal debe ser perpendicular a la x-eje. Modificar el problema utilizando inversas:
El problema resultante se muestra en esta figura.
Ahora se puede utilizar el método de carne máquina de cortar para resolver el problema:
Encuentra una expresión que representa el área de una sección transversal al azar del sólido.
Es decir, encontrar el área de un círculo con un radio de mix y restar el área de un círculo con un radio de
Esto es sólo la geometría. Recuerda que el área de un círculo es πr2:
Utilizar esta expresión para construir una integral definida que representa el volumen del sólido.
Los límites de integración son 0 y 1:
Evaluar la integral:
Por lo que el volumen de este sólido es de aproximadamente 9.179 unidades cúbicas.