Iniciar el estudio de caso control de crucero con la física

Este estudio de caso se inicia con la construcción del modelo, a partir de la física básica. Se presta especial atención para incorporar la resistencia del viento y incluir como un sistema de disturbio, el inicio de una colina. Las leyes del movimiento dicen que dada una masa del vehículo metro y el motor suministra fuerza cw(t), dónde do es constante de proporcionalidad y 0 ≤ w (t) ≤ 1 representa el acelerador del motor, F_nene(t) = mv(t) = cw(t), t ≥ 0.

La resistencia del aire, proporcional a la velocidad al cuadrado veces ρ constante, produce arrastre en el vehículo. Además, cuando el vehículo se encuentra con una colina (la perturbación sistema descrito en la introducción) de ángulo θ, gravedad crea una segunda fuerza contraria, mg pecado(θ), dónde gramo es la constante gravitacional de 9,8 m / s². Un pequeño ángulo se supone en este caso, por lo que la siguiente es válido.

Video: DISEÑO DE CASOS CONTROL

La ecuación de movimiento es ahora

donde la última línea se divide por la masa a través metro. Esta es una ecuación diferencial no lineal en términos de la velocidad del vehículo v(t) Debido a la aparición de v²(t), El término resistencia del aire.

Observar la ecuación diferencial no lineal

Aunque la ecuación diferencial no lineal no está en una forma adecuada para el diseño de un control de crucero, hay algunas observaciones interesantes que se pueden hacer. Este conocimiento también ayuda con el proceso de linealización.

Cuando el vehículo está en el plano (θ = 0) y en el valor máximo de aceleración de 1,0, la ecuación diferencial no lineal se reduce a

La velocidad máxima se puede alcanzar como t se hace grande. A la velocidad máxima la aceleración debe ser cero, por lo

La ecuación se simplifica aún más a

No intente esto en casa con su coche!

Una segunda observación es que el vehículo se ahoga cuando sube una cuesta a todo gas por alguna ángulo crítico θ_s. Primero tiene que saber que significa puesto de la velocidad del vehículo es cero y la aceleración es cero. A partir de la ecuación diferencial no lineal completa

Ahora para resolver θ_s como el pecado^-1[do/ (mg)]. Tenga en cuenta este análisis supone que el vehículo se queda en un engranaje fijo. En la conducción de su propio coche es probable que cambios descendentes a la marcha más baja para evitar el estancamiento.

La tercera observación es la solución a la ecuación diferencial no lineal en el máximo del acelerador y θ = 0. Comience por definir la constante

la ecuación diferencial con esta T insertado se convierte en:

La solución exacta para esta forma simplificada es v(t) = v_máxtanh (t / T). Usted puede verificar esto es una solución válida insertándolo en la ecuación diferencial y ver que la ecuación es satisfecho. Esta solución le da el perfil de velocidad en función del tiempo con el acelerador celebrada en el suelo.

Tenga en cuenta esto no acaba de aplicar a un coche real, porque el modelo no tiene en cuenta el cambio de engranajes con una transmisión. graficando v(t) para una dada v_máx y T se puede ver el tiempo aproximado que tarda en acelerar hasta una velocidad de crucero particular, por ejemplo, de 0 a 60 mph en 10 segundos.

Linealizar a una velocidad de crucero nominal

Para linealizar la ecuación diferencial para una velocidad de crucero nominal de v₀ lt; v_máx y los correspondientes ajustes de la aceleración de 0 lt; w₀ lt; 1, utilizar un uno plazo serie de Taylor expansión. En cálculo, se entera de que cualquier función, dicen y = F(x), Se puede aproximar cerca del punto x₀ utilizando F(x₀) Y sus derivados evaluados en x₀. Una aproximación de un término es lineal en x - x₀, es decir

Si F(x) = x² la expansión se convierte

Video: Casos y Controles

porque F ‘(x) = 2x evaluada en x₀ es 2x₀.

Para el problema en cuestión, desea ampliar con respecto a la velocidad nominal v₀ y la posición del acelerador w₀. Hacer sustituciones en la ecuación diferencial original como sigue:

representar a la desviación de los ajustes de velocidad y de aceleración fuera de los valores nominales. Estos son los nuevos parámetros de modelado. En la ecuación diferencial original:

donde una función de paso se incluye en el término colina gravedad para modelar la aparición colina para t = 0. Obsérvese en la última línea

es cero porque este es el punto de funcionamiento constante nominal, que también corresponde a la posición del acelerador w₀. Si se define la constante de tiempo

Video: VW ACC Control de Velocidad Crucero y Limitador de Velocidad (Automatic Distance Control)

la ecuación diferencial se convierte ahora linealizado