Cómo convertir una distribución de muestreo a una variable aleatoria normal estándar usando el teorema central del límite

Se puede utilizar el teorema del límite central para convertir una distribución de muestreo de una variable aleatoria normal estándar. Con base en el teorema del límite central, si dibuja muestras de una población que es mayor que o igual a 30, entonces la media de la muestra es una variable aleatoria distribuida normalmente. Para determinar las probabilidades para la media de la muestra

las tablas normales estándar requiere convertir

a una variable aleatoria normal estándar.

La distribución normal estándar es el caso especial donde la media

es igual a 0, y la desviación estándar

es igual a 1.

Para cualquier variable aleatoria distribuida normalmente x con una media

y una desviación estándar

a encontrar la variable aleatoria normal estándar correspondiente (Z) Con la siguiente ecuación:

Para la distribución de muestreo de

la ecuación correspondiente es

A modo de ejemplo, dicen que hay 10.000 comercio de acciones todos los días en una bolsa de valores regional. Se sabe por experiencia histórica que los rendimientos de estas acciones tienen un valor medio de 10 por ciento al año, y una desviación estándar del 20 por ciento al año.

Un inversor decide comprar una selección aleatoria de 100 de estas poblaciones para su cartera. ¿Cuál es la probabilidad de que la tasa media de retorno entre estas 100 acciones es mayor que 8 por ciento?

La cartera del inversor puede ser pensado como una muestra de las poblaciones elegidas de la población de existencias comerciales en el intercambio regional. El primer paso para encontrar esta probabilidad es para calcular los momentos de la distribución de muestreo.

• Calcular la media:

  

La media de la distribución de muestreo es igual a la media de la población.

• Determinar el error estándar: Este cálculo es un poco más difícil debido a que el error estándar depende del tamaño de la muestra en relación con el tamaño de la población. En este caso, el tamaño de la muestra (norte) Es 100, mientras que el tamaño de la población (norte) Es 10.000. Por lo que primero tiene que calcular el tamaño de la muestra en relación con el tamaño de la población, así:

  

  Debido a que el 1 por ciento es inferior al 5 por ciento, no se utiliza el factor de corrección de población finita para calcular el error estándar. Tenga en cuenta que en este caso, el valor del factor de corrección de población finita es:

  

Debido a que este valor es tan cercano a 1, utilizando el factor de corrección de población finita en este caso tendría poco o ningún impacto sobre las probabilidades resultantes.

Y debido a que el factor de corrección de población finita no es necesario en este caso, el error estándar se calcula de la siguiente manera:

Para determinar la probabilidad de que la media de la muestra es mayor que 8 por ciento, ahora debe convertir la media de la muestra en una variable aleatoria normal estándar utilizando la siguiente ecuación:

Para calcular la probabilidad de que la media de la muestra es mayor que 8 por ciento, se aplica la fórmula anterior de la siguiente manera:

Porque

estos valores se sustituyen en la expresión anterior como sigue:

Se puede calcular esta probabilidad mediante el uso de las propiedades de la distribución normal estándar junto con una mesa normal estándar como este.

La tabla muestra la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar (designado Z) es Menos que o igual a un valor específico. Por ejemplo, se puede escribir la probabilidad de que

(Una desviación estándar por debajo de la media) como

A encontrar la probabilidad de la mesa con los siguientes pasos:

1. Localizar el primer dígito antes y después del punto decimal (-1,0) en el primero (Z) Columna.

2. Encontrar el segundo dígito después del punto decimal (0.00) en segundos (0.00) la columna de la.

3. Ver donde la fila y la columna se cruzan para encontrar la probabilidad:

   

Debido a que en realidad estás en busca de la probabilidad de que Z es mayor que o igual a -1, se requiere un paso más.

Debido a la simetría de la distribución normal estándar, la probabilidad de que Z es mayor que o igual a un valor negativo es igual a uno menos la probabilidad de que Z es inferior o igual al mismo valor negativo.

Por ejemplo,

Esto es porque

son complementario eventos. Esto significa que Z o bien debe ser mayor que o igual a -2 o menor que o igual a -2. Por lo tanto,

Esto es así debido a la ocurrencia de uno de estos eventos es cierto, y la probabilidad de un evento determinado es 1.

Después de volver a escribir algebraicamente esta ecuación, se termina con el siguiente resultado:

Para el ejemplo de la cartera,

El resultado muestra que hay una oportunidad de 84,13 por ciento de que la cartera del inversor va a tener un retorno medio superior al 8 por ciento.