Cómo cambiar entre coordenadas polares y cartesianas

Se puede utilizar tanto en coordenadas polares y cartesianas (x, y) coordenadas (también conocidas como coordenadas rectangulares) en cualquier momento para describir la misma ubicación en el plano de coordenadas. A veces usted tendrá un tiempo más fácil el uso de una forma, y ​​por esta razón es importante saber cómo cambiar entre los dos. coordenadas cartesianas son mucho más adecuados para los gráficos de líneas rectas o curvas simples. Las coordenadas polares se pueden producir una variedad de gráficos bonitos, muy complejos que no se puede trazar con coordenadas cartesianas.

Cuando se cambia desde y hacia coordenadas polares, su trabajo es a menudo más fácil si usted tiene todas sus medidas de ángulos en radianes. Puede hacer el cambio utilizando el factor de conversión

Usted puede elegir, sin embargo, dejar sus medidas de ángulos en grados, lo cual está bien, siempre y cuando la calculadora está en el modo correcto.

A polar y (x, y) coordinar asignada en el mismo plano.

Examine el punto en esta figura, que ilustra un punto trazado en ambos (x, y) y

coordenadas, lo que permite ver la relación entre ellos.

¿Cuál es exactamente la relación geométrica entre r,

x, y y? Mira cómo están etiquetados en el gráfico - todas las partes del mismo triángulo!

El uso correcto; trigonometría triángulo, ya sabes los siguientes hechos:

Estas ecuaciones simplifican en dos expresiones muy importantes para x y y en términos de r y

Además, puede utilizar el teorema de Pitágoras en el triángulo de la derecha para encontrar el radio del triángulo si se les da x y y:

x² + y² = r²

Una ecuación final le permite encontrar el ángulo

que se deriva de la tangente del ángulo:

Así que si a resolver esta ecuación para

se obtiene la siguiente expresión:

Con respecto a la ecuación final, tenga en cuenta que la calculadora siempre devuelve un valor de tangente inversa que pone

en el primer o cuarto cuadrante. Es necesario mirar a su x- y y-coordina y si ese es en realidad la colocación correcta para el problema en cuestión. La calculadora no busca posibilidades tangentes en el segundo y tercer cuadrantes, pero eso no significa que no tenga que hacerlo!

En conjunto, las cuatro ecuaciones para r,

x, y y le permiten cambiar (x, y) En coordenadas polares

coordina y vuelta a empezar en cualquier momento. Por ejemplo, para cambiar la coordenada polar

a una coordenada rectangular, siga estos pasos:

1. Encuentra el x valor.

   

   Utilizar el círculo de la unidad para obtener

   

   Lo que significa que

   

2. Encuentra el y valor.

   

   Lo que significa que y = 1.

3. Expresar los valores de los Pasos 1 y 2 como un punto de coordenadas.

   Usted encontrará que

   

   es la respuesta como un punto.

Tiempo para un ejemplo a la inversa. Teniendo en cuenta el punto (-4, -4), hallar la coordenada polar equivalente:

1. Trazar la (x, y) El punto primero.

   Un (x, y) Coordinar cambiado a una coordenada polar.

   Esta figura muestra la ubicación del punto en el cuadrante III.

2. Encuentra el r valor.

   Para este paso, se utiliza el teorema de Pitágoras para coordenadas polares: x² + y² = r². Enchufe en lo que sabe (x = -4 y y = -4) para obtener (-4)² + (-4)² = r², o

   
   

3. Encontrar el valor de

   

   Usar la razón tangente de coordenadas polares:

   

   El ángulo de referencia para este valor es

   

   Usted sabe que en la figura que el punto está en el tercer cuadrante, por lo

   

4. Expresar los valores de los pasos 2 y 3 como una de coordenadas polares.

   Puedes decir eso