Cómo calcular un intervalo de confianza para la media de una población con una desviación típica desconocida y / o el tamaño pequeño de la muestra

Se puede calcular un intervalo de confianza (IC) para la media o promedio de una población, incluso si la desviación estándar es desconocida o el tamaño de la muestra es pequeño. Cuando una característica estadística que se está midiendo (tales como ingresos, IQ, el precio, la altura, la cantidad o peso) es numérico, la mayoría de la gente quiere estimar el valor medio (promedio) para la población. A estimar la media poblacional,

mediante el uso de una media de la muestra,

más o menos un margen de error. El resultado se llama intervalo de confianza para la media poblacional,

En muchas situaciones, no se sabe

por lo que estiman que con la desviación estándar de la muestra, s- y / o el tamaño de la muestra es pequeño (menos de 30), y no se puede estar seguro de sus datos provienen de una distribución normal. (En este último caso, el teorema del límite central no se puede utilizar.) En cualquiera de estas situaciones, no se puede utilizar una z * -valor de la normal estándar (Z-) De distribución como su valor crítico más- tiene que usar un valor crítico mayor que, a causa de no saber qué

es y / o que tiene menos datos.

La fórmula para un intervalo de confianza para una media de la población en este caso es

Video: Intervalos de Confianza Estimar u muestras pequeñas

es la crítica t *-valor de la t-con la distribución norte - 1 grados de libertad (donde norte es el tamaño de la muestra).

los t * -los valores de los niveles de confianza comunes se encuentran el uso de la última fila de las anteriores t-mesa.

los t-distribución tiene una forma similar a la Z-distribución, excepto que es más plano y más dispersa. Para valores pequeños de norte y un nivel de confianza específico, los valores críticos en la t-distribución son más grandes que en el Z-distribución, por lo que cuando se utilizan los valores críticos de la t-la distribución, el margen de error para su intervalo de confianza será más amplio. Como los valores de norte se hacen más grandes, la t *-valores están más cerca de z *-valores.

Para calcular un IC para la media (promedio) de la población, en estas condiciones, haga lo siguiente:

1. Determinar el nivel de confianza y grados de libertad y luego encontrar el adecuado t *-valor.

   Consulte la t-tabla anterior.

2. Encuentra la media de la muestra

   

   y la desviación estándar de la muestra (s) Para la muestra.

3. Multiplicar t * veces s y dividir que por la raíz cuadrada de norte.

   Este cálculo le da el margen de error.

4. Tomar

   

   más o menos el margen de error para obtener el CI.

   El extremo inferior de la CI es

   

   menos el margen de error, mientras que el extremo superior de la CI es

   

   más el margen de error.

Por ejemplo, suponga que trabaja para el Departamento de Recursos Naturales y desea estimar, con una confianza del 95%, la media (promedio) longitud de todos los alevines de lucioperca en un estanque de peces de criadero. Se toma una muestra aleatoria de 10 alevines y determinar que la longitud media es de 7,5 pulgadas y la desviación estándar de la muestra es de 2,3 pulgadas.

1. Porque desea un intervalo de confianza del 95%, a determinar su t *-valor como sigue:

   los t *-valor proviene de una t-distribución con 10 - 1 = 9 grados de libertad. Esta t * -valor se encuentra mirando a la t-mesa. Mira en la última fila donde se encuentran los niveles de confianza, y encontrar el nivel de confianza del 95% - esto marca la columna que necesita. A continuación, busque la fila correspondiente a df = 9. Intersección la fila y columna, y que encuentre t * = 2,262. Este es el t * -valor para un intervalo de confianza del 95% para la media con un tamaño de muestra de 10. (Observe que esto es más grande que el z* -valor, lo que sería de 1.96 para el mismo intervalo de confianza).

2. Usted sabe que la longitud media es de 7,5 pulgadas, la desviación estándar de la muestra es de 2,3 pulgadas, y el tamaño de la muestra es de 10. Este medio de

   

3. Multiplicar 2.262 veces 2,3 dividido por la raíz cuadrada de 10. El margen de error es, por lo tanto,

   

4. Su intervalo de confianza del 95% para la longitud media de todos los alevines de lucioperca en este estanque es criadero de peces

   

   (El extremo inferior del intervalo es de 7,5 - 1,645 = 5,86 pulgadas- el extremo superior es de 7,5 + 1,645 = 9,15 pulgadas).

Observe este intervalo de confianza es más ancha de lo que sería para un tamaño de muestra grande. Además de tener un valor crítico más grande (t * versus z *), El tamaño de muestra más pequeño aumenta el margen de error, porque norte está en su denominador. Con un tamaño de muestra más pequeño, que no tiene mayor cantidad de información a “adivinar” en la parte media de la población. manteniendo por tanto, con una confianza del 95%, es necesario un intervalo más amplio de lo que hubiera necesitado con un tamaño de muestra más grande con el fin de tener un 95% de confianza de que la media de la población cae en el intervalo.

Después de calcular un intervalo de confianza, asegúrese de que siempre interpreta en palabras un no-estadístico entendería. Es decir, hablar de los resultados en términos de lo que la persona en el problema es tratar de descubrir - los estadísticos llaman a esta interpretación de los resultados En este ejemplo se puede decir: “Con confianza del 95%,“en el contexto del problema.” la duración media de alevines de lucioperca en este estanque de toda criadero de peces es de entre 5.86 y 9.15 pulgadas, con base en mis datos de la muestra.”(siempre asegúrese de incluir unidades apropiadas.)