Cómo graficar las secciones cónicas en forma paramétrica

A veces, su profesor de pre-cálculo puede pedirle a gráfico de una cónica en forma paramétrica. forma paramétrica es una forma elegante de decir una forma en la que se puede tratar con las cónicas que no se expresan fácilmente como la gráfica de una función y = F(x). Las ecuaciones paramétricas se utilizan generalmente para describir el movimiento o la velocidad de un objeto con respecto al tiempo. Usando las ecuaciones paramétricas le permite evaluar tanto x y y como variables dependientes, a diferencia de x ser independiente y y depende de x.

Video: 27- Secciones cónicas - Conics

forma paramétrica define tanto la x- y el y-variables de las secciones cónicas en términos de una tercera variable, arbitraria, llamada parámetro, que por lo general está representado por t. Puede encontrar valores para ambos x y y enchufando valores para t en las ecuaciones paramétricas. Como los valores de t cambio, también lo hacen los valores para x y Y, Lo que significa que y es dependiente ya no en x sino que depende de t.

¿Por qué cambiar a esta forma? Consideremos, por ejemplo, un objeto que se mueve en un plano durante un intervalo de tiempo específico. Si un problema le pide que describa la trayectoria del objeto y su ubicación en cualquier momento determinado, se necesitan tres variables:

• Hora t, que por lo general es el parámetro

• Las coordenadas (x, y) Del objeto en el momento t

los x_t ecuación da el movimiento horizontal de un objeto como t cambios- la y_t ecuación da el movimiento vertical de un objeto con el tiempo.

Por ejemplo, un conjunto de ecuaciones define tanto x y y para el mismo parámetro - t - y define el parámetro en un intervalo establecido:

Hora t existe sólo entre 1 y 5 segundos para este problema.

Si se le pregunta a graficar esta ecuación, puede hacerlo en una de dos maneras. El primer método es el enchufe y el traqueteo: cuenta con una gráfica y recoger t valores desde el intervalo dado con el fin de averiguar lo x y y debe ser, y luego graficar estos puntos como normal. La siguiente tabla muestra los resultados de este proceso. Nota: t = 1 se incluye en la tabla, aunque el parámetro no está definido allí. Es necesario para ver lo que hubiera sido, porque se hace un gráfico el punto donde t = 1 con un círculo abierto para mostrar lo que ocurre con la función arbitrariamente cerca de 1. Asegúrese de hacer que el punto de un círculo abierto en el gráfico.

La otra manera de representar gráficamente una curva paramétrica es resolver una ecuación para el parámetro y luego sustituir esa ecuación en la otra ecuación. Usted debe escoger la ecuación más sencilla de resolver y empezar por ahí.

Siguiendo con el mismo ejemplo, resolver la ecuación lineal x = 2t - 1 para t:

1. Sustituir los puntos finales de la t intervalo en el x función de saber dónde está el gráfico de arranques y paradas.

   Esto se hace en la tabla. Cuando t = 1, x = 1, y cuando t = 5, x = 9.

2. Resolver la ecuación más simple.

   Para la ecuación elegida, se obtiene

3. Enchufe la ecuación resuelto en la otra ecuación.

   Para este paso, se obtiene

   

4. Simplificar esta ecuación si es necesario.

   Ahora tiene

   

   Debido a este paso le da una ecuación en términos de x y Y, se pueden representar gráficamente los puntos en el plano de coordenadas. El único problema es que no dibujar la gráfica completa, ya que hay que buscar en un intervalo específico de t.

   
   Representación gráfica de una curva paramétrica.

Video: Cómo graficar cónicas (circunferencia, elipse, parábola, hipérbola) con GeoGebra

Esta figura muestra la curva paramétrica de este ejemplo (para ambos métodos). Se termina con una parábola, pero también se puede escribir ecuaciones paramétricas para elipses, círculos y hipérbolas.