Calcular la pendiente de una función utilizando el cociente de diferencias

Se puede calcular la pendiente de una función utilizando el cociente de diferencias. El cociente de diferencias le permite calcular una pendiente si inicialmente no tiene dos puntos de enchufe en la fórmula de la pendiente.

Para calcular una pendiente, necesita dos puntos para conectar a esta fórmula. Para una línea, esto es fácil. Que acaba de recoger dos puntos cualesquiera de la línea y enchufarlos en. Pero no es tan simple si se quiere, por ejemplo, la pendiente de la parábola F (x) = x² en el punto (2, 4). Echa un vistazo a la primera figura.

La gráfica de F(x) = x² (o y = x²) Con una línea tangente en (2, 4).

Se puede ver la línea trazada tangente a la curva en (2, 4). Debido a que la pendiente de la línea tangente es la misma que la pendiente de la parábola en (2, 4), todo lo que necesita es la pendiente de la recta tangente a darle la pendiente de la parábola. Pero usted no sabe la ecuación de la recta tangente, por lo que no se puede conseguir el segundo punto - además de (2, 4) - que se necesita para la fórmula de la pendiente.

Así es como los inventores del cálculo consiguieron alrededor de este obstáculo. La siguiente figura muestra la línea tangente de nuevo y una línea secante que intersecta la parábola en (2, 4) y al (10, 100).

Definicion de Linea secante: Una línea secante es una línea que intersecta una curva en dos puntos. Esto es un poco simplista, pero servirá.

La gráfica de F(x) = x² con una línea tangente y una secante.

La pendiente de esta línea secante está dada por la fórmula de la pendiente:

Se puede ver que esta línea secante es más pronunciada que la línea tangente, y por lo tanto la pendiente de la secante, 12, es mayor que la pendiente que está buscando.

Ahora añadir un punto más en (6, 36) y sacar otra secante usando ese punto y (2, 4) de nuevo, como se muestra en la siguiente figura.

La gráfica de F(x) = x² con una línea tangente y dos líneas secantes.

Calcular la pendiente de esta segunda secante:

Se puede ver que esta línea secante es una mejor aproximación de la recta tangente a la primera secante.

Ahora, imagina lo que pasaría si agarraste el punto en (6, 36) y se deslizó hacia abajo hacia la parábola (2, 4), arrastrando la línea secante junto con él. Se puede ver que a medida que el punto se acerca más y más cerca de (2, 4), la secante se acerca cada vez más cerca de la línea de la tangente, y que la pendiente de esta secante por lo tanto se acerca cada vez más cerca de la pendiente de la tangente?

Por lo tanto, se puede obtener la pendiente de la tangente si se toma el límite de las laderas de este movimiento secante. Vamos a dar el punto en movimiento las coordenadas (x₂, y₂). Como este punto (x₂, y₂) Se desliza cada vez más cerca (x₁, y₁), A saber (2, 4), el correr, lo que equivale x₁ - x₁, se acerca más y más cerca de cero. Así que aquí está el límite de lo que necesita:

Video: cociente diferencial

Mira lo que sucede a este límite al conectar cuatro puntos más en la parábola que están más cerca y más cerca de (2, 4):

Cuando el punto (x₂, y₂) Se desliza a (3, 9), la pendiente es

o 5.

Cuando el punto desliza a (2.1, 4.41), la pendiente es

o 4.1.

Cuando el punto desliza a (2,01, 4,0401), la pendiente es 4,01.

Cuando el punto desliza a (2.001, 4,004001), la pendiente es 4.001.

parece seguro como la pendiente se dirige hacia 4.

Al igual que con todos los problemas de límite, la variable en este problema, x₂ enfoques pero en realidad nunca llega a la flecha-número (2 en este caso). Si llegó a 2 - lo que pasaría si se deslizó el punto agarraste a lo largo de la parábola hasta que era en realidad en la parte superior de (2, 4) - se obtendría

que es indefinido. Pero, por supuesto, la pendiente en (2, 4) es precisamente la pendiente desea - la pendiente de la línea cuando el punto hace tierra en la parte superior de (2, 4). En esto radica la belleza del proceso de límite. Con este límite, se obtiene la exacto pendiente de la tangente línea en (2, 4) a pesar de que la función de límite,

genera laderas de secante líneas.

Aquí de nuevo es la ecuación de la pendiente de la línea tangente:

Y la pendiente de la recta tangente es - usted lo adivinó - la derivada.

Significado de la derivado: La derivada de una función F(x) En un cierto número de x = do, escrita como

es la pendiente de la recta tangente a F dibujado en do.

La fracción pendiente

se expresa con la terminología de álgebra. Ahora se puede volver a escribir para darle un aspecto cálculo highfalutin. Pero en primer lugar, por último, la definición que has estado esperando.

Definición de la cociente de diferencias: Hay un término cálculo de fantasía para la fracción pendiente general,

cuando se escribe en la forma de cálculo de fantasía. Una fracción es una cociente, ¿derecho? Y ambos y₂ - y₁ y x₂ - x₁ son diferencias, ¿derecho? Así, voilà, se llama la cociente de diferencias. Aquí está:

(Esta es la forma más común de escribir el cociente de diferencias. Es posible que correr a través de otras maneras, equivalentes).

Bueno, vamos a hallaba a cabo este proceso en donde

se transforma en el cociente de diferencias.

Primero el correr, x₂ - x₁ (En este ejemplo, x₂ - 2), se llama marido. A continuación, ya x₁ = 2 y el correr es igual marido,x₂ es igual a 2 + marido. A continuación, escribir y₁ como F(2) y y₂ como F(2 + marido). Hacer todas las sustituciones le da la derivada de x² a x = 2:

Recuerda eso

es simplemente el encogimiento

paso de la escalera se puede ver en la f anterioriguracomo el punto se desliza hacia abajo hacia la parábola (2, 4).

Video: Pendiente de la recta tangente - Derivada en un punto - Intro a derivada

La siguiente figura es básicamente el mismo que el anterior, excepto que en lugar de puntos exactos como (6, 36) y (10, 100), el punto de deslizamiento tiene las coordenadas generales de (2 + marido, F (2 + marido)), y el subir y el correr se expresan en términos de marido.

gráfico de F (x) = x² que muestra cómo un límite produce la pendiente de la línea tangente en (2, 4).

Por lo que esta cifra es la gráfica definitiva para

Video: Pendiente y coeficiente de posición ec principal 01

¿Está usted confundido por estas dos figuras? No se preocupe. Ambos muestran la misma cosa. Ambas figuras son representaciones visuales de

Hacer las matemáticas le da, al fin, la pendiente de la recta tangente en (2, 4):

Así que la pendiente en el punto (2, 4) es 4.

definición principal de la derivado: Si se reemplaza el punto (2, F(2)) en la ecuación de límite con el punto general (x, F (x)), Se obtiene la definición general de la derivada como una función de x:

Así que al fin se ve que el derivado se define como el límite del cociente de diferencias.

La siguiente figura muestra esta definición general de forma gráfica. Tenga en cuenta que esta cifra es prácticamente idéntica a la anterior, excepto que xs sustituyen a los 2s en la figura anterior y que el punto en movimiento en esta figura se desliza hacia abajo, hacia cualquier punto de edad (x, F (x)) En lugar de hacia el punto específico (2, F(2)).

gráfico de F(x) = x² que muestra cómo un límite produce la pendiente de la línea tangente en el punto general (x, F(x)).

Ahora trabajar a cabo este límite y obtener la derivada de la parábola, F(x) = x²:

Así, para esta parábola, el derivado (que es la pendiente de la línea tangente en cada valor x) Es igual a 2x. Enchufe cualquier número en x, y se obtiene la pendiente de la parábola en que x-valor. Intentalo.

La cifra final especie de resume (en forma simplificada) todos los difíciles las ideas anteriores sobre el cociente de diferencias.

Al igual que las tres figuras anteriores, la cifra final contiene una pendiente de la escalera-paso básico, una línea secante, y una línea tangente. La pendiente de la recta secante es

La pendiente de la línea tangente es

y se puede ver por qué este es uno de los símbolos que se utilizan para la derivada. A medida que la línea secante escalón se reduce a nada, o, en otras palabras, en el límite cuando