La comprensión de lo que hace una función integrable

Cuando los matemáticos discuten si una función es integrable, no están hablando acerca de la dificultad de la informática que integrante - o incluso si se ha descubierto un método. Cada año, los matemáticos encontrar nuevas formas de integrar clases de funciones. Sin embargo, este hecho no significa que las funciones que antes no integrables ahora son integrables.

Del mismo modo, la integrabilidad de una función también no depender de si su integral puede ser fácilmente representado como otra función, sin recurrir a la serie infinita.

De hecho, cuando los matemáticos dicen que una función es integrable, que sólo significan que la integral es bien definido - es decir, que la integral tiene sentido matemático.

En términos prácticos, la integrabilidad depende de la continuidad: Si una función es continua en un intervalo dado, que es integrable en dicho intervalo. Además, si una función tiene sólo un número finito de algunos tipos de discontinuidades en un intervalo, también es integrable en dicho intervalo.

Muchas de las funciones - como los que tienen discontinuidades, curvas cerradas y pendientes verticales - son diferenciables. También son funciones discontinuas no diferenciables. Sin embargo, las funciones con curvas cerradas y pendientes verticales son integrables.

Por ejemplo, la función de y = |x| contiene una punta afilada en x = 0, por lo que la función es no diferenciable en este punto. Sin embargo, la misma función es integrable para todos los valores de x. Este es sólo uno de un número infinito de ejemplos de una función que es integrable pero no diferenciable en todo el conjunto de números reales.

Por lo tanto, es sorprendente que el conjunto de funciones diferenciables es en realidad un subconjunto del conjunto de funciones integrables. En la práctica, sin embargo, el cálculo de la integral de la mayoría de las funciones es más difícil que el cálculo de la derivada.