Trabajando a través de dominios ejemplo: tomar el filtro de paso bajo RC al dominio z

Trabajando a través de dominios es un hecho de la vida como un ordenador e ingeniero electrónico. Solución de ordenador real y las tareas de ingeniería eléctrica se requiere para asimilar la gran variedad de señales y conceptos de sistemas y técnicas y aplicarlas de una manera inteligente y eficiente. Aquí hay un problema de ejemplo que muestra cómo el análisis y modelado a través del tiempo, la frecuencia y s- y Z-dominios realmente funciona.

En este ejemplo se trabaja a través de los sistemas continua- y de tiempo discreto.

El condensador de resistencia en serie de derivación (RC) filtro de paso bajo es un ejemplo de un sistema de LTI que está representado por una ecuación diferencial de primer orden LCC. Aquí está la fórmula de la función de respuesta y el sistema de impulso:

Video: Dominio de tiempo y Dominio fasorial

RC es la constante de tiempo asociada con la resistencia en serie y el condensador de derivación que define el circuito de filtro. Este problema se le pide que encontrar un equivalente simple filtro de tiempo discreto.

Suponer marido[norte] = marido(Nuevo Testamento) = marido(norte/F_s). La transformada de Laplace (LT) de marido(t) Después de muestreo es

Este resultado indica que el muestreo de una respuesta al impulso de tiempo continuo mapea la s-avión a la Z-avión a través z = mi^sT. (Esta conexión es parte de la figura.) Para el filtro RC de respuesta de impulso, en particular, el polo en s = -1 / (RC) Se asigna a un poste en z = mi^-^T^/^RC en el Z-avión.

Porque mi^-^T^/⁽^RC⁾ lt; 1, el polo es estable. Formalmente, esto se llama una impulso invariante filtrar diseño, y que le permite transferir un filtro de tiempo continuo en el dominio de tiempo discreto.

En el sentido más amplio, el z = mi^sT transformación de los mapas de la izquierda-mitad s-avión en el interior del círculo unidad en el Z-avión y la derecha; media s-avión para el exterior del círculo unidad en el Z-avión. los jw-eje de la s-avión se asigna al círculo unidad, que es donde jw reside en el Z-avión.

El mapeo se produce repetidamente debido a la teoría de muestreo. Aliasing de la respuesta de frecuencia del filtro también se produce, a menos que sea de banda limitada (cero) para F gt; F_s/ 2.

Para completar el diseño del filtro, coloque la respuesta al impulso muestreada en el Z-transformar la definición:

Afinar el diseño para la implementación

Este filtro es como marido[norte] = un^norteu[norte] Para 0 lt; un lt; 1, con el factor de escala 1 / (RC) y un = mi^-^T^{/ (}^RC⁾. Un detalle es que el procedimiento de diseño no ha tenido cuidado de, y que está asegurando que la ganancia del filtro a frecuencias se conserva, en particular, F = 0.

En el dominio de tiempo continuo, esto significa encontrar MARIDO(s = j0) = 1 / (RC) / [j0 + 1 / (RC)] = 1 y la elección de un factor de ganancia GRAMO colocar delante de MARIDO_RC(z) Para forzar la ganancia a ser también uno en z = mi^j⁰ = 1:

Al final, con GRAMO valor incluido, usted tiene

Para aplicar en la práctica este filtro en una aplicación, necesita la representación ecuación de diferencia de este filtro. La función del sistema es la relación de salida sobre la entrada en el Z-dominio: MARIDO_RC(z) = Y(z) /x(z). Para encontrar la ecuación de diferencia, primero tiene que multiplicar cruzada x(z) veces el numerador de MARIDO_RC(z) A la derecha y multiplicar transversales los tiempos denominador x(z) a la izquierda:

Video: Filtro Pasa Bajo

A continuación, aplicar la inversa Z-transformar en los lados izquierdo y derecho, utilizando las propiedades de linealidad y de retardo de la Z-transformar:

Hacer la comparación respuesta de frecuencia de Python

Utilizar Python para tomar un rápido vistazo a la magnitud de la respuesta de frecuencia del filtro analógico original y la realización de filtros digitales. El paso bajo de constante de tiempo de filtro analógico está relacionada con la frecuencia de filtro de corte de 3 dB (donde 20log₁₀|MARIDO(F_3dB) | = -3,0) a través de F_3dB = 1 / (2πRC).

A continuación, establezca F_3dB = 100 Hz y barrer la frecuencia logarítmica de 0,1 Hz a 100 kHz. Ajuste la frecuencia de muestreo F_s = 1 /T = 200 KHz y reconocer que el filtro digital será útil sólo para 0 ≤ f ≤ F_s/ 2 en hertz o el siguiente en radianes por muestra:

La magnitud de respuesta de frecuencia en dB para ambos filtros se muestra en la siguiente figura. Tenga en cuenta, en particular, las respuestas se superponen excepto cuando F está muy cerca de la frecuencia de plegado 100-kHz.

en [25]: F = logspace (-1,5,500) En [26]: RC = 1 / (2 * pi * 100) En [27]: W, Hs = signal.freqs ([1 / RC], [1,1 / RC], 2 * pi * f) En [28]: A = exp (-1 / (RC * 2E5)) En [29]: W, Hz = signal.freqz ([1-a], [1, -a], 2 * pi * f / 2E5) En [30]: Semilogx (F, 20 * log10 (abs (HS))) en [31]: Semilogx (f, 20 * log10 (abs (Hz))) En [32]: Eje ([1e-1,1e5, -60,5])

La comparación de respuesta entre los dos filtros es buena. El hecho de que la respuesta de filtro digital se encuentra por encima de la respuesta analógica cerca F_s/ 2 es debido a aliasing en la respuesta de frecuencia. enfoques de diseño de filtros digitales alternativos pueden mitigar esto, pero no sin algunas ventajas y desventajas. Esa es la ingeniería.