Cómo gráficas de derivados difieren de las gráficas de funciones

Cuando se empieza a observar gráficos de derivados, puede caducar fácilmente en pensar en ellos como funciones regulares - pero no lo son. Afortunadamente, se puede aprender mucho acerca de las funciones y sus derivados mirando su lado a lado los gráficos y la comparación de sus características importantes. Por ejemplo, tomar la función, F (x) = 3x⁵ - 20x³.

F (x) = 3x⁵ - 20x³ y su primera derivada

Ahora va a viajar a lo largo F de izquierda a derecha, haciendo una pausa para observar sus puntos de interés y también la observación de lo que sucede a la gráfica de

en los mismos puntos. Pero en primer lugar, echa un vistazo a la siguiente advertencia (largo).

Esta no es la función! A medida que nos fijamos en el gráfico de

en la figura, o la gráfica de cualquier otro derivado, puede que tenga que dar una palmada a sí mismo en la cara cada minuto o así para recordar que “Este es el derivado Estoy mirando, no la función!”Es fácil confundir los gráficos de los derivados de las funciones regulares. Es posible, por ejemplo, mirar en un intervalo que va para arriba en la gráfica de un derivado y por error concluir que la función original también debe estar pasando en el mismo intervalo de - un error comprensible.

Usted sabe que la primera derivada es lo mismo que cuesta. Así que cuando vea la gráfica de la primera derivada de subir, usted puede pensar, “Oh, la primera derivada (la pendiente) está subiendo, y cuando la pendiente sube eso es como subir una colina, por lo que la función original debe estar naciente.”Esto suena razonable porque, flojamente hablando, se puede describir la parte frontal de una colina como una pendiente que va hacia arriba, cada vez mayor. Pero matemáticamente hablando, la parte frontal de una colina tiene una positivo pendiente, no necesariamente una creciente cuesta abajo. Así, cuando una función es creciente, la gráfica de su derivada será positivo, pero ese gráfico derivado podría ser ir hacia arriba o hacia abajo.

Video: Aplicación de la Derivada al trazado de curvas - Ejercicio 2

Digamos que usted está subiendo una colina. Al acercarse a la cima de la colina, usted todavía va arriba, pero, en general, la cuesta abajo (La pendiente) va abajo. Puede ser que sea 3, a continuación, 2, luego 1 y, a continuación, en la parte superior de la colina, la pendiente es cero. Así que la pendiente se hace más pequeño o decreciente, incluso mientras estás subiendo la colina o creciente. En un intervalo tal, el gráfico de la función es creciente, pero la gráfica de su derivado es decreciente. ¿Lo tengo?

Está bien, vamos a volver a la F y su derivado en la figura. A partir de la izquierda y viajar hacia la derecha, F aumenta hasta el máximo local en (-2, 64). Que va hacia arriba, por lo que su pendiente es positivo, pero F va haciéndose cada vez menos empinadas, así que su pendiente es decreciente - la pendiente disminuye hasta que llega a ser cero en el pico. Esto corresponde a la gráfica de

(La pendiente), que es positivo (Porque es por encima de la x-eje) pero decreciente a medida que avanza hacia abajo hasta el punto (2, 0). Vamos a resumir lo largo de todo su viaje F y

con la siguiente lista de reglas.

• Un creciente intervalo en una función corresponde a un intervalo en el gráfico de su derivado que es positivo (o cero para un único punto si la función tiene un punto de inflexión horizontal). En otras palabras, el intervalo de aumento de una función corresponde a una parte de la gráfica derivado que está por encima de la x-eje (o que toca el eje de un solo punto en el caso de un punto de inflexión horizontal). Ver intervalos A y F en la figura.

  Video: Interpretación gráfica de la derivada primera - Cálculo - Educatina

• Un local máx en el gráfico de una función (como (-2, 64) corresponde a una cero (un x-en el origen) en un intervalo de la gráfica de su derivado que atraviesa la x-eje va abajo (Como en (2, 0)).

En un gráfico derivado, se‘hemos conseguido una metro-eje. Cuando usted está buscando en varios puntos de la gráfica derivada, no se olvide que la y-de coordenadas de un punto, al igual que (2, 0), en un gráfico de una primera derivada que la dice cuesta abajo de la función original, no su altura. Piense en el y-eje en el primer gráfico de la derivada como cuesta abajo-eje o la metro-eje- usted podría pensar en puntos generales sobre el primer gráfico derivado como tener coordenadas (x, metro).

• UN decreciente intervalo en una función corresponde a una negativo intervalo en el gráfico de la derivada (o cero para un único punto si la función tiene un punto de inflexión horizontal). El intervalo negativo en el gráfico derivado es por debajo de la x-eje (o en el caso de un punto de inflexión horizontal, el gráfico derivado toca el x-eje en un solo punto). Ver intervalos B, C, D y E en la figura (pero tenga en cuenta como una sola sección), donde F va abajo todo el camino desde el máximo local en (-2, 64) a la min local en (2, -64) y donde

  

  es negativa entre (-2, 0) y (2, 0) a excepción de en el punto (0, 0) en

  

  que se corresponde con el punto de inflexión horizontal en F.

• Un local min en el gráfico de una función corresponde a un cero (una x-en el origen) en un intervalo de la gráfica de su derivado que atraviesa la x-eje subiendo (como en (2, 0)).

Ahora vamos a tomar un segundo viaje a lo largo F para considerar sus intervalos de concavidad y sus puntos de inflexión. En primer lugar, tenga en cuenta los intervalos A y B en la figura. La gráfica de F es cóncava hacia abajo - que significa lo mismo que una decreciente pendiente - hasta que llega al punto de inflexión en alrededor de (-1.4, 39.6).

Por lo tanto, la gráfica de

disminuye hasta que toque fondo en alrededor de (-1.4, -60). Estas coordenadas que dicen que el punto de inflexión en el -1,4 en F tiene una pendiente de -60. Tenga en cuenta que el punto de inflexión, en F al (-1,4, 39,6) es el punto más empinado en ese tramo de la función, pero tiene la pequeñísimo pendiente porque su pendiente es una más grande negativo que la pendiente en cualquier otro punto cercano.

Entre (-1.4, 39.6) y el siguiente punto de inflexión en (0, 0), F es cóncava hacia arriba, lo que significa lo mismo que una creciente cuesta abajo. Por lo tanto la gráfica de

aumenta de alrededor de -1.4 a donde se realiza un máximo local en (0, 0). Ver C intervalo en la figura. Vamos a tomar un descanso este viaje por algunas más reglas.

• Un cóncava abajo intervalo en el gráfico de una función corresponde a una decreciente intervalo en el gráfico de sus derivados (intervalos de A, B, y D en la figura). Y una cóncava arriba intervalo en la función corresponde a una creciente intervalo en el derivado de (intervalos C, E, y F).

• Un punto de inflexión en una función (a excepción de un punto de inflexión vertical donde está definido el derivado) corresponde a una extremo local en el gráfico de su derivado. Un punto de inflexión mínimo pendiente (en su vecindad) corresponde a un local de min en el derivado graph- un punto de inflexión máximo pendiente (en su vecindad) corresponde a un local de máx en el gráfico derivado.

Al reanudar su viaje, después de (0, 0), F es cóncava hacia abajo hasta el punto de inflexión a alrededor de (-1,4, 39,6) - esto corresponde a la sección decreciente de

a partir de (0, 0) a su min a (1,4, -60) (D intervalo en la figura). Finalmente, F es cóncava hacia arriba el resto del camino, que corresponde a la sección cada vez mayor de

a partir de (1,4, -60) (intervalos de E y F en la figura).

Bueno, que prácticamente te lleva al final de la carretera. Volviendo adelante y hacia atrás entre las gráficas de una función y su derivado puede ser muy tratando al principio. Si su cabeza comienza a girar, tomar un descanso y volver a esto más adelante.

Ahora, mira de nuevo en la gráfica de la derivada,

en la figura y también en el gráfico de señal para

en la siguiente figura.