Cómo utilizar la función lagrangiano en economía de la empresa
situaciones de negocios se complican aún más por las restricciones, que pueden ser explicados en economía de la empresa utilizando el la función de Lagrange. Tal vez la empresa ha firmado un contrato para producir 1.000 unidades del bien al día, o el negocio tiene ciertos insumos, tales como el tamaño de la fábrica, que no se pueden cambiar. Restricciones limitan las opciones de la firma. Su objetivo es optimizar una función sujeta a las limitaciones o restricciones.
los la función de Lagrange es una técnica que combina la función que se está optimizado con funciones que describen la restricción o restricciones en una sola ecuación. La solución de la función de Lagrange le permite optimizar la variable que elija, con sujeción a las limitaciones que no puede cambiar.
Cómo identificar su objetivo (función)
los función objetiva es la función que se está optimizando. La variable dependiente en la función objetivo representa su meta - la variable que desea optimizar. Ejemplos de funciones objetivo incluyen la función de beneficios para maximizar el beneficio y la función de utilidad para los consumidores para maximizar la satisfacción (utilidad).
funciones de restricción
UN función de restricción representa una limitación en su comportamiento. La variable dependiente en la restricción representa la limitación. Ejemplos de funciones de restricción incluyen el número de unidades debe producir con el fin de satisfacer un contrato y el presupuesto disponible para el consumidor.
Cómo construir la función de Lagrange
La técnica para la construcción de una función de Lagrange es la combinación de la función objetivo y todas las restricciones de una manera que satisfaga dos condiciones. En primer lugar, la optimización de la función de Lagrange debe dar lugar a la optimización de la función objetivo. En segundo lugar, todas las restricciones deben ser satisfechas. Con el fin de satisfacer estas condiciones, utilice los siguientes pasos para especificar la función de Lagrange.
Asumir u es la variable que se está optimizado y que es una función de las variables x y z. Por lo tanto,
Además, hay dos limitaciones, do1 y do2, que son también funciones de x y z;
Los pasos siguientes establecen la función de Lagrange:
Vuelva a especificar las restricciones de modo que son iguales a cero.
Multiplicar las limitaciones por el lambda factores uno y lambda dos, ë1 y e2, respectivamente (más sobre esto en un momento).
Añadir las limitaciones con el término lambda a la función objetivo con el fin de formar la función de Lagrange A’.
En esta memoria descriptiva de la función de Lagrange, las variables se representan por x, z, λ 1, y λ 2. Tomando las derivadas parciales de la función de Lagrange con respecto a lambda 1 y λ 2 y poniéndolos a cero asegurar que sus limitaciones son satisfechos, al tiempo que las derivadas parciales de la función de Lagrange con respecto al x y z y poniéndolos a cero optimizar su función objetivo.
El multiplicador de Lagrange
economía de la empresa tiene una gran cantidad de accesos directos útiles. Uno de esos atajos λ es el utilizado en la función de Lagrange. En la función de Lagrange, las restricciones se multiplican por el λ variable, lo que se llama el multiplicador de Lagrange.
Esta variable es importante porque λ mide el cambio que se produce en la variable siendo optimizada dado un cambio de una unidad en la restricción. Si usted está tratando de minimizar el costo de producir una cantidad dada de salida, λ indica la cantidad de cambios de costos totales si usted produce una unidad más de producto. Esto le permite evaluar rápidamente las relaciones entre las limitaciones y la variable que está siendo optimizado.
Supongamos que su empresa tiene un contrato que le obliga a producir 1.000 unidades de un bien todos los días. La firma utiliza mano de obra y el capital para producir el bien. La cantidad de trabajo empleada, L, se mide en horas, y el salario es de $ 10 por hora. La cantidad de capital invertido, K, se mide en horas-máquina, y el precio por hora máquina es de $ 40. Por lo tanto, el costo total de su empresa, TC, es igual
La función de producción describe la relación entre las cantidades de trabajo y capital utilizado y la cantidad del bien producido
Por contrato, q debe ser igual a 1,000. Debe determinar la cantidad de trabajo y capital a utilizar con el fin de minimizar el costo de producción de las 1,000 unidades del bien.
Crear una función de Lagrange. Reconocer que la variable que está tratando de optimizar el costo total es - en concreto, que está tratando de minimizar el costo total. Por lo tanto, su función objetivo es 10L + 40K. En segundo lugar, su limitación es que 1.000 unidades del bien tienen que ser producido a partir de la función de producción. Por lo que su restricción es
1000 - 20L0.5K0.5 = 0.
Su función es de Lagrange
Tomar la derivada parcial de la función de Lagrange con respecto al trabajo y el capital - L y K - y los puso igual a cero. Estas ecuaciones garantizar que la función objetivo se está optimizando - en este caso, el coste total se reduce al mínimo.
Tomar la derivada parcial de la función lagrangiana con respecto a E y configurarlo igual a cero. Esta derivada parcial asegura que la restricción - la producción de 1.000 unidades de la buena diario - es satisfecho.
Resolver los tres derivadas parciales de forma simultánea para las variables L, K, y E para minimizar el coste total de producción de 1.000 unidades del bien.
Reescribiendo la derivada parcial de Β’con respecto a L le permite resolver de λ.
Sustituyendo la ecuación anterior para λ en la derivada parcial de Β’con respecto a K rendimientos
el sustituto 4K para L en la restricción (la derivada parcial de L con respecto a e) para dar
Por lo tanto, su empresa debe utilizar 25 horas de la máquina del capital diaria.
Debido determinó anteriormente L = 4K
Por último, se puede resolver de λ
Por lo tanto, la combinación de 100 horas de mano de obra y 25 horas-máquina del capital minimizar el coste total de producción de 1.000 unidades del bien a diario. Además, λ es igual a 2. Recuerde que lambda indica el cambio que se produce en la función objetivo dado un cambio de una unidad en la restricción. Por lo tanto, si su empresa quiere producir una unidad más de los buenos, que aumenta su costo total en $ 2.