Encontrar áreas exactas bajo una curva mediante la integral definida
Cuando se aproxima el área bajo una curva con la izquierda, derecha, o punto medio de los rectángulos, los más rectángulos que usted use, mejor será la aproximación. Por lo tanto, “todo” lo que tendría que hacer para obtener el área exacta bajo una curva es utilizar un número infinito de rectángulos. Ahora, realmente no se puede hacer eso, pero con la invención fantástica de límites, esto es una especie de lo que sucede. Aquí está la definición de la integral definida que se utiliza para calcular áreas exactas.
los integral definida (“sencillo“ definición): El área exacta bajo una curva entre x = un y x = segundo está dada por la integral definida, que se define como el límite de una suma de Riemann:
Video: Area bajo la curva I (integral definida)
Es que una cosa de belleza o qué? Tenga en cuenta que esta suma (todo a la derecha de “lim”) es idéntica a la fórmula para norte rectángulos derecha, Rnorte:
La única diferencia es que se toma el límite de esa fórmula como el número de rectángulos tiende a infinito
Esta definición de la integral definida es la versión simple basado en la fórmula rectángulo derecha. Verá la verdadera definición-McCoy en un momento, sino porque todas las sumas de Riemann para un problema específico tienen el mismo límite - en otras palabras, no importa qué tipo de rectángulos se utiliza - que también podría utilizar el derecho; definición rectángulo. Es lo menos complicado y que va siempre es suficiente.
Esta es el área exacta en virtud F (x) = x2 + 1 entre x = 0 y x = 3:
Gran sorpresa.
Video: Área limitada por una curva y el eje X (Mediante integral definida)
Este resultado es bastante sorprendente si se piensa en ello. Utilizando el proceso de límite, se obtiene una exacto respuesta de 12 - algo así como 12,00000000 ... a un número infinito de decimales - por el área bajo la función suave, curvada F (x) = x2 + 1, sobre la base de las áreas de los rectángulos de superficie plana que se ejecutan a lo largo de la curva de una forma dentada, diente de sierra.
Encontrar el área exacta de 12 utilizando el límite de una suma de Riemann es un montón de trabajo (recuerda, primero hay que determinar la fórmula para norte rectángulos derecha). Este método complicado de integración es comparable a la determinación de un derivado de la manera difícil mediante el uso de la definición formal que se basa en el cociente de diferencias.
Debido a que el límite de todas las sumas de Riemann es el mismo, los límites en el infinito de norte rectángulos izquierda y norte rectángulos punto medio - para F (x) = x2 + 1 entre x = 0 y x = 3 - que debe dar el mismo resultado que el límite en el infinito de norte rectángulos derecha. Aquí está el límite izquierdo del rectángulo:
Y aquí está el límite rectángulo punto medio:
Si usted es algo incrédulo que estos límites en realidad le dan la exacto área bajo F (x) = x2 + 1 entre 0 y 3, que no está solo. Después de todo, en estos límites, como en todos los problemas de límite, la flecha de números
es solo acercado- nunca ha alcanzado realmente. Y encima de eso, lo que significaría para alcanzar el infinito? Usted no puede hacerlo. Y sin importar el número de rectángulos que tiene, siempre tienes que borde dentado, diente de sierra. Entonces, ¿cómo puede un procedimiento de este tipo le dará el área exacta?
Míralo de esta manera. Echar un vistazo a las siguientes dos figuras.
f (x) = x2 + 1 “. />Video: Cálculo Integral 01:Área bajo una curva
Se puede decir de estas cifras que la suma de las áreas de rectángulos que quedan, independientemente de su número, siempre será una debajoestimar (este es el caso para las funciones que están aumentando en el lapso en cuestión).
Y a partir de la siguiente figura, se puede ver que la suma de las áreas de rectángulos derecho, dependiendo de la cantidad que tiene, siempre será una encimaestimar (por el aumento de funciones).
